Найти проекцию начала координат. Метод множителей Лагранжа

[Sverest]

Найти проекцию начала координат в R^2 на полуплоскость

$$X=\{(x,y)| 2x+y\ge3\}$$

используя метод множителей Лагранжа. Дать геометрическую интерпретацию задачи.

С чего надо начать?

[Sverest]

Что значит в $R^2$?

[мат-ламер]

Sverest в сообщении #593187 писал(а):

Что значит в $R^2$?

На плоскости.

-- Сб июл 07, 2012 22:55:44 --

Sverest в сообщении #593129 писал(а):

С чего надо начать?

Подумать и привести свои попытки решения.

[Sverest]

Полуплоскость будет такая:



но она же не проходит через начало координат, или надо перпендикуляр искать из точки $(0; 0)$ к плоскости, или точку пересечения перпендикуляра с плоскостью?

[мат-ламер]

Sverest в сообщении #593226 писал(а):

или надо перпендикуляр искать из точки к плоскости, или точку пересечения перпендикуляра с плоскостью?

Так можно, но это не то, что просили.

[Sverest]

мат-ламер в сообщении #593228 писал(а):

Так можно, но это не то, что просили.

Просто не пойму, что требуется в этой задаче

[Sverest]

Может так?
$L(x, \lambda_0, \lambda_1)=\lambda_0 (2x+y)+\lambda_1(2x+y-3)$

[мат-ламер]

Sverest в сообщении #593230 писал(а):

Просто не пойму, что требуется в этой задаче

Прежде всего, условие задачи надо переписать в других терминах (как задачу оптимизации).

[AKM]

... что бы что-то потребовалось минимизировать. При условии...

-- 08 июл 2012, 11:04 --

Хотя сам пока не понял. Что значит "на полуплоскость"? Почему не на прямую?

[Sverest]

Задача оптимизации записывается следующим образом:

$f(x) \to \min $

$g_i (x)=0,\, i=1, \dots , m$

Здесь $f(x)=2x+y-3$

а как определить $g(x)$?

[Yu_K]

Sverest в сообщении #593421 писал(а):

Задача оптимизации записывается следующим образом:

$f(x) \to \min $

$g_i (x)=0,\, i=1, \dots , m$

Здесь $f(x)=2x+y-3$

а как определить $g(x)$?

Может так понимается задача $f(x,y)=x^2+y^2 \to \min $ при $g (x,y)=2x+y-3\geqslant0$

[Sverest]

Yu_K в сообщении #593450 писал(а):

Может так понимается задача $f(x,y)=x^2+y^2 \to \min $ при $g (x,y)=2x+y-3\geqslant0$

То есть определить точку соприкосновения окружности и плоскости

[Yu_K]

Окружности и полуплоскости (и по сути дела прямой). Тонкости можно уточнить там, где взяли задачу...

[Sverest]

Получилось $x=1,2,\, y=0.6,\,\lambda_1=-1.2$
$x$ и $y$ здесь координаты проекции, а что такое $\lambda_1$?

[Sverest]

Преподаватель написала:

Цитата:

Почему найденная точка – это проекция? Не проверено достаточное условие. Кроме того, в классической задаче на условный экстремум, которая решается с помощью метода множителей Лагранжа, все ограничения должны быть равенствами. Либо Вы преобразуете ограничение к равенству, вводя дополнительную переменную, либо дополнительно оговариваете, что проекция лежит на границе, поэтому Вы рассматриваете не полуплоскость, а только прямую линию.