Декартово произведение множеств

[oniksofers]

Профессор Снэйп в сообщении #597954 писал(а):

oniksofers в сообщении #597918 писал(а):

Ничего в голову не идет.

А Вы по порядку.

Сначала докажите, что $\forall x \exists y (xR_1y)$ и $\forall y \exists x(yR_2x)$, это совсем просто.

Как я понимаю, мы предполагаем, что существует такой $x \in X $, что $\nexists y \in Y $ $(xR_1y)$
Тогда, так как $R_1 \subset$ X \times Y, мы получаем, то, что $x \notin X \times Y$, противоречие. Так?

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #597972 писал(а):

Как я понимаю, мы предполагаем, что существует такой $x \in X $, что $\nexists y \in Y $ $(xR_1y)$
Тогда, так как $R_1 \subset$ X \times Y, мы получаем, то, что $x \notin X \times Y$, противоречие. Так?

Нет, не так. Бред какой-то написан.

[oniksofers]

Ладно, вы уже в любом случае многое подсказали, тут кроется глобальная проблема в моей голове, которую я могу решить лишь сам, огромное спасибо

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #597985 писал(а):

Ладно, вы уже в любом случае многое подсказали, тут кроется глобальная проблема в моей голове, которую я могу решить лишь сам, огромное спасибо

Просто будьте аккуратнее.

Вот сами посмотрите, что Вы пишете. Берёте $x \in X$. И потом "доказываете", что $x \not\in X \times Y$. Это и так без всякого "доказательства" очевидно: произведению $X \times Y$ принадлежат только пары, отдельные элементы $X$ ему принадлежать не могут (хотя, если строго рассуждать, всё же могут, но тут надо забираться в такие дебри теории множеств...). Но смысл всего этого абсолютно непонятен! И "доказательсво" этого ненужного факта совершенно некорректно!

-- Вс июл 22, 2012 21:25:56 --

На самом же деле всё очень-очень просто. Пара $(x,x)$ по условию принадлежит $R_2 \circ R_1$. А что такое $R_2 \circ R_1$ по определению?

[oniksofers]

Цитата:

Просто будьте аккуратнее.

Стараюсь, но получается, пока что, не очень.

Профессор Снэйп в сообщении #597988 писал(а):

На самом же деле всё очень-очень просто. Пара $(x,x)$ по условию принадлежит$R_2 \circ R_1$ . А что такое $R_2 \circ R_1$ по определению?

$R_2 \circ R_1$ = [(x,x) | \exists y (xR_1y) \wedge (yR_2x)]
Мда..
Получается, аналогично рассматривается $R_1 \circ R_2$ для второго утверждения?

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #597997 писал(а):

$R_2 \circ R_1$ = [(x,x) | \exists y (xR_1y) \wedge (yR_2x)]

Это неверно. Посмотрите внимательно на то, что Вы написали.

-- Вс июл 22, 2012 21:53:33 --

Правильно будет так: $R_2 \circ R_1 = \{ (x_1, x_2) \,|\, \exists y(xR_1y \wedge yR_2x_2) \}$. Написал я это Вам в первую очередь для того, что показать, как пишутся в $\LaTeX$ фигурные скобки. Ибо квадратные скобки у Вас просто бесят! И обратите внимание: в "доллары" надо заключать всю формулу, а не по частям!!!

[oniksofers]

Конечно, там индексы забыл. За квадратные скобки прошу извинить.
И как я понимаю, из этого определения, для любых пар $(x_1,x_2)$ гарантируется существование y ?

p.s про доллары учту

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #598006 писал(а):

И как я понимаю, из этого определения, для любых пар $(x_1,x_2)$ гарантируется существование y ?

Не для любых, а только для тех, которые входят в $R_2 \circ R_1$.

А у Вас $R_2 \circ R_1$ чему равно?

[oniksofers]

Соответственно $R_2 \circ R_1 = \bigtriangleup_X$, а это значит, в данном случае, что
$x_1=x_2$

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #598014 писал(а):

Соответственно $R_2 \circ R_1 = \bigtriangleup_X$, а это значит, в данном случае, что
$x_1=x_2$

Нет! Это значит, что $y$ существует для любой пары вида $(x,x)$, ибо любая такая пара входит в $\Delta_X$.

-- Вс июл 22, 2012 22:16:04 --

А теперь аккуратно напишите, какому условию удовлетворяет $y$, "существующий для пары".

[oniksofers]

Так у нас есть пара $(x,x)$ то y должен удовлетворять условию
$(xR_1y)\wedge(yR_2x)$

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #598021 писал(а):

Так у нас есть пара $(x,x)$ то y должен удовлетворять условию
$(xR_1y)\wedge(yR_2x)$

Во! Существующий игрек должен удовлетворять такому условию. В частности, первой половине условия

[oniksofers]

Цитата:

Во! Существующий игрек должен удовлетворять такому условию. В частности, первой половине условия

То есть, мы, доказали, что $\forall x \exists y (xR_1y)$

И теперь рассматривая пары вида $(y_1,y_2) \in R_1 \circ R_2$
А это означает, что $R_1 \circ R_2 = \{(y_1,y_2) | \exists x (y_1R_2x) \wedge (xR_1y_2) \} $
А так, как $R_1 \circ R_2 = \bigtriangleup_Y$, то x существует, для любой пары вида (y,y), что означает то, что x удовлетворяет условию $(yR_2x) \wedge (xR_1y)$

Тем самым доказано, что $\forall y \exists x (yR_2x)$

Получается так, да?

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #598635 писал(а):

Получается так, да?

Да, это верно. Поздравляю! Давайте дальше.

[oniksofers]

Так, возьмем $x,y_1$ и $y_2$, для которых выполнены $xR_1y_1$ и $xR_1y_2$. По доказанному, мы можем утверждать, что для
$y_1 \exists x_1 (y_1R_2x_1)$ Докажем что $x_1 = x$

Мне хочется, взять пару $(x,x_1)$ и доказать, что, в случае $x \neq x_1$, используя композицию $R_2 \circ R_1$, придти к противоречию.

Ведь насколько я понимаю, композиции $R_2 \circ R_1$ принадлежат лишь пары вида $(x,x)$, так как композиция равна $\bigtriangleup_X$

Я ошибаюсь?