Декартово произведение множеств

[oniksofers]

Требуется показать, что справедливо :
$X \times Y$ = \varnothing \Leftrightarrow (X = \varnothing) \bigvee (Y = \varnothing)

Я честно говоря, не знаю даже с чего начать. Но есть некоторые мысли:
Можно расписать декартово произведение, по определению, как
$X \times Y := (x,y) | (x \in X) \bigwedge (y \in Y)$
Соответственно дальше мне хочется, приравнять всё это дело пустому множеству, и затем воспользоваться тем, что для $\bigwedge$ равенство пустому множеству, тоже самое, что равенство нулю и получить что
$ (X = \varnothing) \bigvee (Y = \varnothing)$

Буду благодарен, если кто-нибудь, подскажет верный путь.

p.s понимаю, что вопрос, по сути тривиален, но более ничего путного, к несчастью, в голову не лезет.

[Профессор Снэйп]

Ну, давайте начнём со следующего. У Вас стрелочка вот такая: $\Leftrightarrow$. То есть Вам надо доказать, что верны два утверждения:

1) Если $X = \varnothing$ или $Y = \varnothing$, то $X \times Y = \varnothing$.
2) Если $X \times Y = \varnothing$, то $X = \varnothing$ или $Y = \varnothing$.

Вам оба пункта непонятны или какой-то один из них понятен?

[oniksofers]

Цитата:

Вам оба пункта непонятны или какой-то один из них понятен?

В принципе, оба непонятны , по первому, я высказал свои предположения, в обратную стороны, мыслей, пока что не наблюдается.

[Профессор Снэйп]

Хорошо, оба пункта непонятны.

Вы знаете, что такое доказательство от противного?

[oniksofers]

Цитата:

Вы знаете, что такое доказательство от противного?

В моем представлении, это, когда мы, предполагаем, что то, что мы хотим доказать, неверно.
И через это приходим к противоречию

[Профессор Снэйп]

Ну да, примерно так. Но не обязательно приходить к противоречию. Предлагаем неверным то, что хотим доказать, и выводим, что неверны исходные условия.

Вот, например, первый пункт. Предположим, что $X \times Y \neq \varnothing$. Тогда множество $X \times Y$ содержит некоторый элемент, который является парой $(x,y)$ при $x \in X$ и $y \in Y$. Но раз $x \in X$ и $y \in Y$, то $X \neq \varnothing$ и $Y \neq \varnothing$. Что и требовалось.

Видите, как всё просто! Давайте второй пункт самостоятельно, тоже методом от противного.

[oniksofers]

Тогда получается, что мы предполагаем, что $X \neq \varnothing \bigwedge Y \neq \varnothing$ тогда из определение декартова произведения следует, что при данном предположении, оно не может равняться пустому множеству. Так?

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #597444 писал(а):

Так?

Ну да, так. Раз $X \neq \varnothing$ и $Y \neq \varnothing$, то существуют $x \in X$ и $y \in Y$. Но тогда имеем $(x,y) \in X \times Y$ и $X \times Y \neq \varnothing$.

Маленькое замечание по оформлению. Не надо для бинарных конъюнкции и дизъюнкции использовать большие знаки $\bigwedge$ и $\bigvee$. Они предназначены для другого. Пишите обычны $\wedge$ и $\vee$, будет красивее. А конъюнкцию ещё можно обозначать так: $\mathop{\&}$.

[oniksofers]

Хорошо.
Огромное спасибо за помощь.

[oniksofers]

Снова требуется помощь, хотя точнее, сказать правильно я мыслю в новой задаче или нет.
Пусть $\bigtriangleup_X$ диагональ множества $X^2$ и $\bigtriangleup_Y$ - диагональ множества $Y^2$. Требуется показать, что если отношения $R_1$\subset X \times Y и $R_2$\subset Y \times X таковы, что
$(R_2\circ R_1 =\bigtriangleup_X )\wedge(R_1\circ R_2 =\bigtriangleup_Y)$, то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств X и Y.

Для того, чтобы доказать, что данные отношения функциональны, надо доказать, что
$(xR_1y_1)\wedge(xR_1y_2)\rightarrow y_1=y_2$
$(yR_2x_1)\wedge(yR_2x_2)\rightarrow$ x_1=x_2

Пусть $y_1,y_2 \in Y$ и $x \in X$
Тогда воспользовавшись композицией отношений имеем
$R_1\circ R_2$ := [( y_1,y_2) | \exists x (y_1R_2x) \wedge (xR_1y_2)]
Но $R_1\circ R_2 =\bigtriangleup_Y$ $\rightarrow$ $y_1 = y_2$

Аналогично, Пусть $x_1,x_2 \in X$ и $y \in Y$ Рассматриваем композицию
$R_2\circ R_1$ получаем, что $x_1 = x_2$ Значит рассматриваемые отношения функциональны. Правильна ли эта выкладка?? Если да то как доказать биективность?

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #597904 писал(а):

Для того, чтобы доказать, что данные отношения функциональны, надо доказать, что
$(xR_1y_1)\wedge(xR_1y_2)\rightarrow y_1=y_2$
$(yR_2x_1)\wedge(yR_2x_2)\rightarrow$ x_1=x_2

Не только это надо доказать, а ещё две вещи: $\forall x \exists y (xR_1y)$ и $\forall y \exists x(yR_2x)$.

-- Вс июл 22, 2012 19:14:20 --

oniksofers в сообщении #597904 писал(а):

Правильна ли эта выкладка??

На мой взгляд нет, неправильна.

[oniksofers]

Как я понимаю для правильности выкладки, не хватает, лишь док-ва
$\forall x \exists y (xR_1y)$
$\forall y \exists x (yR_2x)$

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #597910 писал(а):

Как я понимаю для правильности выкладки, не хватает, лишь док-ва
$\forall x \exists y (xR_1y)$
$\forall y \exists x (yR_2x)$

Не только этого. Я Вашей выкладки вообще не понял, она показалась мне не имеющей никакого отношения к делу.

-- Вс июл 22, 2012 19:25:41 --

Вам нужно доказать $(xR_1y_1 \mathop{\&} xR_1y_2) \Rightarrow (y_1 = y_2)$. А Вы зачем-то доказываете $(xR_1y_2 \mathop{\&} y_1R_2x) \Rightarrow (y_1 = y_2)$.

[oniksofers]

Да, бред написал я, пойду дальше думать.

Ничего в голову не идет. Как по мне нужно воспользоваться тем, что композиции отношений равны диагоналям соответствующих множеств, но как из этого вывести что отношения функциональны, ума не приложу ..

[Профессор Снэйп]

oniksofers в сообщении #597918 писал(а):

Ничего в голову не идет.

А Вы по порядку.

Сначала докажите, что $\forall x \exists y (xR_1y)$ и $\forall y \exists x(yR_2x)$, это совсем просто.

Возьмите $x$, $y_1$ и $y_2$, для которых $xR_1y_1$ и $xR_1y_2$. Для $y_1$ существует $x_1$ такой, что $y_1R_2x_1$. Из условия задачи выведите, что $x = x_1$. Значит, $y_1R_2x$. Далее... продолжите самостоятельно, я и так уже много подсказал.