1-мерн уравн теплопроводности.Длительность переходн.процесса

[eugrita]

Одномерная задача теплопроводности (без источников) с постоянными граничными условиями
$u'_t-\alpha u''_{x2}=0$ при $u(0,t)=T_1,u(L,t)=T_2$
Равновесный профиль температуры- линеен по координате x
$u_r(x)=\frac {(x-T_1)T_2+(T_2-x)T_1}{T_2-T_1}$
это все известно. Интересна оценка длительности переходного процесса
$T_{per}(\alpha,L,T_1,T_2)$
в зависимости от параметров задачи
Путем численного моделирования (расчеты в Матлаб) у меня получилась красивая зависимость
$T_{per}(\alpha,L)=\frac {k}{aL^2}$ где $k=k(T_1,T_2)$
например $k(5,10)=0.00382,k(5,30)=0.00525$ и т.п.
т.е время переходного процесса обратно пропорционально коэф.температуропроводности и квадрату длины линейного участка.
Есть ли какие-то физические и математические обоснования этого?
Численный критерий оценки расчета времени переходного процесса имел вид
$|u(x,t)-u_{r}(x,t)|<1$ градус

[Alexandr007]

eugrita в сообщении #596843 писал(а):

Есть ли какие-то физические и математические обоснования этого?

Попробуйте подставить $u(x,t)=exp(\beta t)\sin (wx)$.

[Taus]

У вас нет начального условия, поэтому определить время перехода не получится.

[Munin]

Если разложить произвольные начальные условия по Фурье, то постоянная времени будет наибольшей для компоненты с наименьшей пространственной частотой, а это $2\pi/(2L).$ Так что оценку сверху получить можно.

[eugrita]

Да самое главное забыл.
Начальное распределение температуры принимается нулевым.Разбивая решение на сумму равновесной части $U_r(x)+U_{ner}(x,t)$ для неравновесной составляющей получим 0-граничн условия
Только что тогда получается при аналитическом решении?

если здесь считать $\varphi(x)=0$ то при краевых нулевых условиях получим отсюда нулевое решение.
Наверное раз приняли начальное распределение для $U_r(x)+U_{ner}(x,0)=0$ то
начальное распределение для $U_{ner}(x,0)=\varphi(x)=-U_r(x)=-T_1+kx$ (cм ф-лу вначале) т.е линейное и надо все оценки брать из интеграла на рис при линейной $\varphi(x)$
а что сказал Munin означает ли что эта оценка равна $\frac{\pi}{L}$?
а у меня все-таки $\sim\frac{1}{L^2}$

[Taus]

Munin в сообщении #596997 писал(а):

Если разложить произвольные начальные условия по Фурье, то постоянная времени будет наибольшей для компоненты с наименьшей пространственной частотой, а это $2\pi/(2L).$ Так что оценку сверху получить можно.

Даже если разложить, то не факт, что с наименьшей. Пример: $u(t=0,x)=f(x) = T_0 \sin \frac{\pi n x}{L}, n \in \mathbb{N}$. К тому же этот коэффициент будет пропорционален $T_0$, а следовательно и время переходного процесса тоже будет от него зависеть.

-- Чт июл 19, 2012 22:03:31 --

eugrita в сообщении #597041 писал(а):

если здесь считать $\varphi(x)=0$ то при краевых нулевых условиях получим отсюда нулевое решение.

Вы уже записали другую задачу, выделение равновесной части вернется в начальное условие, которое уже не будет нулевым.

[eugrita]

да, фраза "если считать $\varphi(x)=0$..." неуместна т.к. не относится к рассматриваемой задаче. А с аналитическим решением согласны? Но вопрос об оценке времени переходного процесса пока мне все равно неясен

[Taus]

eugrita, я бы предложил решить задачу аналитически и получить ответ в виде ряда. А потом делать с ним, что хотите.

[Munin]

eugrita в сообщении #597041 писал(а):

а что сказал Munin означает ли что эта оценка равна $\frac{\pi}{L}$?
а у меня все-таки $\sim\frac{1}{L^2}$

Нет, конечно. Оценка на пространственную частоту $\pi/L,$ а чтобы получить из неё характерное время, надо взять соотношение между пространственными и временными частотами (для волновых уравнений оно называется дисперсионным законом или соотношением). Уравнение $u_t-\alpha u_{xx}=0$ после фурье-преобразования приобретает вид $i\omega u+\alpha k^2u=0,$ так что "дисперсионное соотношение" имеет вид $\omega=i\alpha k^2.$

-- 19.07.2012 22:44:50 --

Taus в сообщении #597062 писал(а):

Даже если разложить, то не факт, что с наименьшей.

Почему не факт? Если $k>k_{\min},$ то $|\omega|>|\omega|_{\min},$ и $\tau\equiv|\omega|^{-1}<\tau_{\max}.$

[Taus]

Munin в сообщении #597073 писал(а):

Почему не факт? Если $k>k_{\min},$ то $|\omega|>|\omega|_{\min},$ и $\tau\equiv|\omega|^{-1}<\tau_{\max}.$

С этим я согласен, но я привёл пример, когда $\varphi_k = 0, k \neq n$. Вы получаете характерное время, а не то время которое требуется eugrita. eugrita ищёт время, когда $\forall x |u(x,t)-u_{state}(x)| < \varepsilon$, как я понял.

-- Пт июл 20, 2012 01:45:16 --

Munin, всё понял, что вы имели ввиду. У меня получилось $\tau > C\frac{l^2}{\alpha^2}$, по размерности сходится.

[Munin]

Не сходится, если у $\alpha$ размерность $\mathrm{L^2T^{-1}}.$

[ewert]

Там просто очипятка на рисунке. Естественно, правильно $\sin\dfrac{\pi nx}{l}\cdot e^{-\dfrac{a\pi^2n^2t}{l^2}}$, откуда $\tau=\dfrac{l^2}{a\pi^2n^2}$. При линейном предельном профиле и нулевом начальном условии здесь $n=1$, если $T_1\neq-T_2$; в противном случае $n=2$.

[Munin]

Думаю, опечатка в другом месте, поскольку здесь фигурируют и $a,$ и $\alpha$ (альфа). Исходное уравнение нам предъявляли только с альфой, альфа там стоит в первой степени, а текст с $a$ процитирован отрывочно непонятно откуда. Возможно, там в начале указано, что уравнение имеет вид $u_t-a^2u_{xx}=0.$

Когда сравниваете решения из разных источников, прежде всего надо тщательно разобраться с обозначениями, и свести их к одинаковым. Нельзя полагаться, что одни и те же буквы в разных источниках по умолчанию значат одно и то же, и тем более разные буквы.

(Оффтоп)

P. S. В книжке Mathematics into type, предназначенной для издателей, а не для авторов, даны советы о правке математических обозначений и выражений, по сравнению с манускриптом, для улучшения читабельности при сохранении смысла. Многоэтажные выражения во внутритекстовых формулах неудобочитаемы, и для них перечислены несколько вариантов замены на выражения, аналогичные по смыслу, но не сильно уступающие, или даже лучшие по читаемости. В выражении $\sin\dfrac{\pi nx}{l}\cdot e^{-\dfrac{a\pi^2n^2t}{l^2}}$ можно избавиться от "трёхэтажности" двумя способами: $\sin\left(\dfrac{\pi nx}{l}\right)\exp\Bigl(-\dfrac{a\pi^2n^2t}{l^2}\Bigr)$ и $\sin\dfrac{\pi nx}{l}\cdot e^{-a\pi^2n^2t/l^2}.$ Дальше можно постараться избавиться от "двухэтажности", но это уже не обязательно. Как альтернатива, можно набрать "двухэтажную" часть формулы в меньшем размере: $\sin\bigl(\tfrac{\pi nx}{l}\bigr)\exp\bigl(-\tfrac{a\pi^2n^2t}{l^2}\bigr).$ Но на этом этапе "наведения красоты", мне кажется, важно уже не уменьшить размер формулы по вертикали (иначе это уже повредит читаемости), а изменить группировку членов: $\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2t\right),$ что, впрочем, тоже не обязательно.

[ewert]

Munin в сообщении #597220 писал(а):

Возможно, там в начале указано, что уравнение имеет вид $u_t-a^2u_{xx}=0.$

Всякие чудеса случаются, но это вряд ли: вводить корень из коэффициента теплопроводности вряд ли имеет хоть какой-то смысл.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #597222 писал(а):

Всякие чудеса случаются, но это вряд ли: вводить корень из коэффициента теплопроводности вряд ли имеет хоть какой-то смысл.

Хорошо, а вариант $a^2u_{xx}-bu_t=0$? Мне кажется логичным и удобным, когда коэффициент при второй производной - в квадрате.