гомеоморфизм компакта и хаусдорфова пространства

[theambient]

Показать, что всякое непрерывное биективное отображение компакта в хаусдорфово пространство гомеоморфно.

Пусть $K$ - компакт, $\Delta$ - хаусдорфово пр-во.

$f : K \rightarrow \Delta$ - непрерыно.

Требуется показать, что $f^{-1}: \Delta \rightarrow K$ - непрерывно, то есть для всякого $U \in K$ праобраз $V: f^{-1}(V) = U$ открыт.

В силу компактности $K$ $U = \bigcup B_k = \bigcup_{l=1}^N B_{k_l}$, где $\{B_k\}$ - база в $K$.

$$f^{-1}(V) = U = \bigcup_{l=1}^N B_{k_l},$$

отсюда

$$V = \bigcup_{l=1}^N f( B_{k_l} ).$$

А вот доказать, что образ открытого множества из базы открыт в $\Delta$ не получается и вообще выглядит как-то подозрительно.

[Someone]

theambient в сообщении #596792 писал(а):

А вот доказать, что образ открытого множества из базы открыт в $\Delta$ не получается и вообще выглядит как-то подозрительно.

А с чего бы он был открыт?

От Вас, между прочим, не требуется доказывать, что $K$ гомеоморфно $\Delta$. От Вас требуется доказать, что $K$ гомеоморфно $fK$.

theambient в сообщении #596792 писал(а):

Требуется показать, что $f^{-1}: \Delta \rightarrow K$ - непрерывно

Откуда взялось такое отображение? Как я понял, $f$ является биективным отображением не на $\Delta$, а в $\Delta$. Или у нас какое-то несовпадение в употреблении терминологии?

theambient в сообщении #596792 писал(а):

для всякого $U \in K$ праобраз $V: f^{-1}(V) = U$ открыт

??? Во-первых, $U\subseteq K$, а не $\in$; во-вторых, логически безграмотная формулировка.

[xmaister]

Наверное все таки имелось в виду отображение на. В этом случае воспользуйтесь тем что каждое замкнтуое подпространства компактного пространства- компакт. Непрерывный образ компакта- компакт, а каждый компакт хаусдорфова- замкнут. Тем самым Вы доказали замкнутость отображения f. Этого достаточно для гомеоморфночти

[theambient]

Someone в сообщении #596804 писал(а):

theambient в сообщении #596792 писал(а):

Требуется показать, что $f^{-1}: \Delta \rightarrow K$ - непрерывно

Откуда взялось такое отображение? Как я понял, $f$ является биективным отображением не на $\Delta$, а в $\Delta$. Или у нас какое-то несовпадение в употреблении терминологии?

Увы мне, подразумевалось отображение "на".

theambient в сообщении #596792 писал(а):

для всякого $U \in K$ праобраз $V: f^{-1}(V) = U$ открыт

??? Во-первых, $U\subseteq K$, а не $\in$; во-вторых, логически безграмотная формулировка.[/quote]

принадлежит как элемент топологического пространства, я уже не стал писать $(K,\tau_K)$.

А что беграмотного? если опустить перемешение текста и логических символов?

[theambient]

xmaister в сообщении #596830 писал(а):

Наверное все таки имелось в виду отображение на. В этом случае воспользуйтесь тем что каждое замкнтуое подпространства компактного пространства- компакт. Непрерывный образ компакта- компакт, а каждый компакт хаусдорфова- замкнут. Тем самым Вы доказали замкнутость отображения f. Этого достаточно для гомеоморфночти

спасибо, разобрался и даже увидел где там необходима хаусдорфовость.