Сохранение операций сложения и умножения

[Naf2000]

Пусть $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ такая, что
$f(x+y)=f(x)+f(y)$
$f(xy)=f(x)f(y)$
для любых $x, y$
Найти все функции с таким свойством

[chessar]

Это известные 1-ое и 4-ое функциональные уравнения Коши. Непрерывные решения для 1-го уравнения Коши:
$f(x)=Ax$, $A$ - произвольная действительная константа.
Для 4-го уравнения:
$f(x)\equiv0,\;f(x)\equiv1,\;f(x)=|x|^A,\,f(x)=x\cdot|x|^{A-1},\;A>0$.
Ну а дальше очевидно.
Также есть еще и разрывные решения Гамеля для 1-го уравнения.
Источник: Нечепуренко М.И. - Итерации вещественных функций и функциональные уравнения, 1997 (стр. 85)

[xmaister]

chessar, да я там глупость написал.

[Naf2000]

Хотелось бы без свойства непрерывности

[AGu]

Naf2000 в сообщении #596482 писал(а):

Хотелось бы без свойства непрерывности

Хочется ― перехочется: непрерывность следует из перечисленных свойств.
(От деталей воздержусь ― чтобы не обломить потенциальных решателей.)

[xmaister]

Пусть $f\not\equiv 0$, тогда $f(0)=0, f(1)=1, f\left(\frac1{n}\right)=\frac1{n}, n\in\mathbb{Z}$. $f(n)f(n)=nf(n)$ откуда $f(n)=n,n\in\mathbb{Z}$. Имеем $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q},\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$. В силу аддитивности достаточно доказать непрерывность в нуле. Пусть $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\to 0$, тогда, т.к. $\mathbb{R}$- метризуемое ТВП, существует последовательность $\gamma_n\to\infty$, такая что $\gamma_ny_n\to 0$, значит существует последовательность рациональных чисел $\gamma_n'\to \infty$, такая что $\gamma_n'y_n\to 0$. Из свойства 2 вытекает, что $f(y_n)\to 0$. Получаем непрерывность. Теперь, т.к. $\mathbb{R}$- хаусдорфово, а $\mathbb{Q}$- всюду плотно в $\mathbb{R}$, то если существует продолжение до непрерывного $\widehat{f}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, то оно единственно. Откуда получаем, что $f(x)=x$. Вроде так

[TOTAL]

xmaister в сообщении #596512 писал(а):

значит существует последовательность рациональных чисел $\gamma_n'\to \infty$, такая что $\gamma_n'y_n\to 0$. Из свойства 2 вытекает, что $f(y_n)\to 0$.

Покажите, как вытекает.

[Naf2000]

xmaister в сообщении #596512 писал(а):

Из свойства 2 вытекает, что $f(y_n)\to 0$.

Почему?

[Naf2000]

Для $f(x)\equiv 0$ понятно
Для рациональных $f(x)\equiv x $ понятно
Для остальных так годится?
$\forall a>0 \exists b>0 : b^2=a$ Подставим $f(a)=f(b^2)=f^2(b)\geq 0$
$\forall a>0,\forall x\Rightarrow f(x+a)=f(x)+f(a)\geq f(x)$ - возрастающая функция (нестрого)
Пусть $f(x)=x+\delta, \delta>0$ (для $\delta<0$ аналогично)
Тогда возьмем $r \in \mathbb{Q}: x<r<x+\delta$
$x+\delta = f(x) \leq f(r)=r$ - противоречие

[xmaister]

Naf2000, прикольно . А я так и не смог понять, почему же $f$- неубывающая, пока Вы не написали (изначально как-то легкомысленно счел, что $f$- ограничена в некоторой ону). Ну тогда дальше всё понятно, $\{f(\gamma_n'y_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$- ограничена.

Идею Вашего решения пока не понял. Почему Вы выбираете именно $f(x)=x+\delta$? Почему, например, в иррациональных точках $f$ не может быть какой-то вообще не понятной? Я не понимаю

[xmaister]

А, кажется таки понял. Не строгое возрастание $f$, которое Вы доказали, доставляет. Выбираем локальную базу $\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, такую что $|f(x)|<n^{-n}, x\in V_n\cap\mathbb{Q}$. Считаем, что в рациональных точках $f$ определили. Рассмотрим $x\in\mathbb{R}$- произвольное и последовательность точек $x_n\in (x+V_n)\cap\mathbb{Q}$, тогда $|f(x)-f(x_n)|=|f(x)-x_n|=|f(x-x_n)|<n^{-n}$, откуда $f(x)=x$ для всех $x$.

[Профессор Снэйп]

Naf2000 в сообщении #596472 писал(а):

Пусть $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ такая, что
$f(x+y)=f(x)+f(y)$
$f(xy)=f(x)f(y)$
для любых $x, y$
Найти все функции с таким свойством

$f(x) = x$ и $f(x) = 0$, других нет.

Приятная задача, я её часто студентам даю