Неравенство с параметром

[Twidobik]

Нужно найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство
$\left| {{x^2} - 4x + a} \right| \leqslant 10$ выполняется для всех $x \in \left[ {a;a + 5} \right]$

У этого задания много различных решений, но меня мучает только одно. Когда-то на этом форуме меня научили решать подобные неравенства графически, через систему координат $aOx$ , очень много заданий с параметрами решил этим способом, а на этом примере запнулся.
Начертил графики функций в вышеуказанной системе координат, $a$-ось ординат, и сразу увидел почти весь ответ:
$a \in \left[ { - 2;0} \right]$
Однако даже на графике видно, что есть еще решения на промежутке примерно $0 \leqslant a \leqslant 1$, но графически их, естественно, уже не найти.
Так вот, возможно ли найти эти недостающие решения, не уходя далеко от того способа, которым решал я? Конечно, теперь нужно прибегнуть к аналитическим методам, но может после моих действий они ограничатся одним уравнением вместо больших систем? Помогите пожалуйста, я упрямо хочу понять, можно ли решить таким образом это задание или нет.

[mihiv]

Для удобства немного преобразуем неравенство:

$$|(x-2)^2+a-4|\leqslant 10$$

Обозначим теперь $y=x-2,c=a-4$ и будем решать задачу аналогичную исходной относительно переменной $y$ и параметра $c$,т.е. будем искать все значения параметра $c$,при каждом из которых выполняется неравенство

$$|y^2+c|\leqslant 10$$

для всех $y\in [c+2,c+7]$.
Строим графики в координатах $c,y$.Графически минимальное значение параметра $c$ равно ординате левой точки пересечения параболы $c=-y^2+10$ и прямой $y=c+2$,а максимальное значение параметра $c$ равно ординате правой точки пересечения той же параболы с прямой $y=c+7$.Находим значения параметра $c$ и возвращаясь затем к параметру $a$,получим $a\in [-2,\frac {-7+\sqrt {69}}2]$.