Irrational inequality

[Keter]

$$\sqrt{4-x}-2 \le x |x-3| + 4x$$

$x \ge 3 : \quad \begin{cases} x-4 \le (x^2+x+2)^2, \\ x^2+x+2>0, \\ 4-x\ge 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x(x^3+2x^2+5x+5) \ge 0, \\ x \le 4; \end{cases}$ тут очевидно, что $\forall x \in [3; 4] \quad x(x^3+2x^2+5x+5) \ge 0$, то есть решение $x \in [3; 4]$.

$x <3 : \quad \begin{cases} x-4 \le (-x^2+7x+2)^2, \\ -x^2+7x+2>0, \\ 4-x\ge 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x(x^3-14x^2+45x+29) \ge 0, \\ x \in \bigg( \dfrac{7-\sqrt{57}}{2}; 3 \bigg); \end{cases} $ как быть? Что делать дальше?

[mihailm]

возрастающая функция справа

[ewert]

Я бы лично начал с рисования графиков левой и правой части. И примерно на этом же и закончил. Очевидно, что эти графики пересекаются ровно в одной точке. И раз точка ноль очевидно подходит -- то, значит, так тому и быть; значит, решение неравенства -- это от ноля до правой границы ОДЗ.

-- Вс июл 15, 2012 22:40:36 --

mihailm в сообщении #595660 писал(а):

возрастающая функция справа

Да, но это не необходимо.

[mihailm]

ewert в сообщении #595661 писал(а):

...
Да, но это не необходимо.

это подсказка

-- Вс июл 15, 2012 21:46:46 --

если продолжать ваше решение, то надо смотреть как ведет себя кубический многочлен, а ведет он себя нормально
возрастает где-то до двух потом убывает примерно до 7
в промежутке для икса все хорошо - кубический многочлен положителен, отсюда ответ

[ewert]

Достаточно того, что правая часть справа откровенно положительна.

[Keter]

То есть достаточно сказать, что на промежутке $\bigg(\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}; 3 \bigg)$ функция $f(x)=-x^2+7x+2$ возростает, а $g(x)=\sqrt{4-x}$ - убывает, значит $f(x)=g(x)$ имеет единственный корень $x=0$, следовательно неравенство $f(x) \ge g(x)$ имеет решение $x \ge 0$.

Ну и ответ $x \in [0; 4]$

[mihailm]

Keter в сообщении #595671 писал(а):

То есть достаточно сказать, что на промежутке $\bigg(\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}; 3 \bigg)$ функция $f(x)=-x^2+7x+2$ возростает, а $g(x)=\sqrt{4-x}$ - убывает, значит $f(x)=g(x)$ имеет единственный корень $x=0$, следовательно неравенство $f(x) \ge g(x)$ имеет решение $x \ge 0$.

Ну и ответ $x \in [0; 4]$

не, вам предлагается ничего не решать пока не поймете поведение правой и левой части исходного неравенства

[ewert]

Достаточно сказать, что справа от нуля левая часть очевидно отрицательна, правая же -- очевидно положительна. Слева же от нуля (чуть менее, но тоже очевидно) -- наоборот: там корень монотонно убывает, а правая часть монотонно возрастает. Последнее -- просто потому, что при раскрытии модуля левее тройки получается некая парабола рогами вниз, для которой ноль является корнем и при этом вершина -- в правой полуплоскости.

[Keter]

Только что начертил график функций, действительно так даже легче и очевиднее.