Классификация полей

[EvilPhysicist]

Собственно в книжках, которые читал, не встретил(или не заметил) классификацию полей, по этому спрашиваю.
В дальнейшем $\psi$ - полевые координаты, $G$- группа, по которой инвариантно действие для поля, $\mathbb F^{n \times m}$ - тело матриц $n \times m$ над полем $F$, для простоты либо действительных либо комплексных чисел.
Правильно ли, что
Если $\psi \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R $, $G$ - абелева - это скалярное поле
Если $\psi \colon \mathbb R^4 \to \mathbb C$ ,$G$ - абелева - это комплексное поле
Если $\psi \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R^4 $, $G$ - абелева - это векторное поле
Если $ \psi \colon \mathbb R^4 \to \mathbb F^{n \times m} $, $G$ - не абелева - поле Янга-Миллса?

-- 08.07.2012, 19:25 --

Если уточнять, то в

EvilPhysicist в сообщении #593491 писал(а):

Если $\psi \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R^4 $, $G$ - абелева - это векторное поле

то правильно написать $\psi\colon \mathbb R^4 \to TM$, где $TM$ - касательное расслоение к многообразию, на котором происходит дело, причём каждый его слой $ TM_x$ рассматривается как действительное линейное пространство.

А в

EvilPhysicist в сообщении #593491 писал(а):

Если $ \psi \colon \mathbb R^4 \to \mathbb F^{n \times m} $, $G$ - не абелева - поле Янга-Миллса?

правльнее написать $\psiu\colon \mathbb R^4 \to L_{n \times m} $, где $L_{n \times m} $ - линейное пространство матриц размером $n \times m$ либо над полем действительных чисел, либо над полем комплексных чисел.

[Munin]

Классификация полей опирается на то, как меняются величины, описывающие это поле, при преобразовании системы координат пространства. Соответственно, есть два случая: они не меняются вообще, они меняются соответственно какому-то представлению группы преобразований координат. На физическом языке они называются внутренними и не внутренними (не знаю точнее термина) степенями свободы поля.

Соответственно, обычно не-внутренние степени свободы конкретизуют дальше, что приводит к обычным тензорным и спинорным полям:
- скалярные;
- векторные;
- тензорные 2, 3, и т. д. ранга;
- спинорные 1, 3, ... ранга - в случае квантовых полей полуцелого спина (целый спин эквивалентен тензорам), это поля Дирака, Вейля, Майораны.
Хотя, в принципе, можно рассмотреть и бесконечномерные представления, что приводит к кинетике или теории струн.

Внутренние степени свободы классифицируют по виду группы преобразований (вроде, навороченных представлений групп внутренних преобразований не рассматривают за ненадобностью):
- абелевы группы;
- неабелевы группы, они же Янга-Миллса (из них группа $SU(2)$ - это исходная рассмотренная Янгом и Миллсом, её могут называть полем Янга-Миллса в узком смысле).

Особняком стоит суперсимметрия, которая расширяет группу преобразований пространственных координат, так что не-внутренние степени свободы получают более сложные представления, и описывают как частицу, так и её суперсимметричного партнёра.

Медведев Б. В. Начала теоретической физики.
Рубаков В. А. Классические калибровочные поля.
Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. (очень зуболомная книга, не асилил)
Прохоров Л. В., Шабанов С. В. Гамильтонова механика калибровочных систем. (не асилил)

[EvilPhysicist]

Так то есть поле мы описываем двумя "словами", первое описывает как полевые координаты меняются при смене координат на многообразии, а второе абелева или не абелева группа внутренней симметрии поля?

Munin в сообщении #593496 писал(а):

Медведев Б. В. Начала теоретической физики.

Есть в наличии, читал, там вроде только про электромагнитное поле.

Munin в сообщении #593496 писал(а):

Рубаков В. А. Классические калибровочные поля.

Сейчас внимательно читаю первый её том, там, на сколько помню, не даётся такой строгой классификации, а сразу с места в карьер.

Munin в сообщении #593496 писал(а):

Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. (очень зуболомная книга, не асилил)

Не могу не согласиться, сам не осилил.

Munin в сообщении #593496 писал(а):

Прохоров Л. В., Шабанов С. В. Гамильтонова механика калибровочных систем. (не асилил)

Есть, совсем не давно начал читать.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #593506 писал(а):

Так то есть поле мы описываем двумя "словами", первое описывает как полевые координаты меняются при смене координат на многообразии, а второе абелева или не абелева группа внутренней симметрии поля?

Да, а в результате группа - прямое произведение внутренней и координатной.

Индексы внутренних координат часто обозначаются буквами из начала латинского или греческого алфавита, $a,b,c$ или $\alpha,\beta,\gamma,$ а внешних - $\mu,\nu,\lambda$ или $i,j,k.$

EvilPhysicist в сообщении #593506 писал(а):

Есть в наличии, читал, там вроде только про электромагнитное поле.

Там главное - идеология, которая позволяет называть полевые координаты в точке степенями свободы поля.

EvilPhysicist в сообщении #593506 писал(а):

Сейчас внимательно читаю первый её том, там, на сколько помню, не даётся такой строгой классификации, а сразу с места в карьер.

Строгой вообще вряд ли где есть, это область, в которой больше работают с конкретными примерами, а не наводят марафет и классификацию. Соответственно, и вам советую познакомиться с ходовыми примерами, а за их пределами редко что понадобится.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #593512 писал(а):

Строгой вообще вряд ли где есть, это область, в которой больше работают с конкретными примерами, а не наводят марафет и классификацию. Соответственно, и вам советую познакомиться с ходовыми примерами, а за их пределами редко что понадобится.

Ну ходовые приёмы и практичность это хорошо, но порядок наводить всё-таки надо. По крайней мере для себя. Чем я и занимаюсь.

[lek]

EvilPhysicist в сообщении #593515 писал(а):

Ну ходовые приёмы и практичность это хорошо, но порядок наводить всё-таки надо. По крайней мере для себя. Чем я и занимаюсь.

Ограничьтесь рассмотрением (известных) физических полей, это гораздо проще. Тогда достаточно будет описать лишь калибровочные и связанные с ними материальные поля (ну и Хиггс, конечно). Гравитация стоит несколько особняком, тем не менее интерпретация калибровочного поля как аффинной связности помогает описать и гравитацию подобным образом.

[Munin]

Порядок наводить надо, когда есть в чём. Кроме Рубакова, почитайте, что такое simga model и non-linear sigma model.

-- 08.07.2012 18:56:58 --

lek в сообщении #593521 писал(а):

Ограничьтесь рассмотрением (известных) физических полей, это гораздо проще. Тогда достаточно будет описать лишь калибровочные и связанные с ними материальные поля (ну и Хиггс, конечно).

Я бы предложил не замыкаться в HEP, а расширить эрудицию за счёт ФТТ / condensed matter. Там зачастую свои симметрии (например, нет Лоренца), так что общность с HEP скорей идейная, а примеры свои.

[lek]

Разумеется, особенно если область исследований еще не определена...

[EvilPhysicist]

Хорошо!
Все спасибо!

[Munin]

lek в сообщении #593526 писал(а):

Разумеется, особенно если область исследований еще не определена...

Да и не только, и HEP-щикам, и CondMat-щикам есть чему друг у друга поучиться, у этих областей большое взаимное влияние идей и методов.

[FFFF]

Munin в сообщении #593523 писал(а):

Я бы предложил не замыкаться в HEP, а расширить эрудицию за счёт ФТТ / condensed matter.

Не знаете, в ФТТ есть какие-нибудь аналоги калибровочных групп/полей? Просто интересно, насколько далеко КТП проникло в конденсированное состояние, пока видел только функции Грина и континуальные интегралы, уверен, есть ещё много чего (хотя S-матрицей, похоже, не очень интересуются).

[lek]

FFFF, см., например, книгу А. Кадича и Д. Эделена "Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций" (скачать можно здесь http://bookfi.org/).

[FFFF]

lek
Ага, классно, спасибо!
Просмотрел оглавление - там упругость, дефекты. А что-нибудь про конденсированное состояние есть? (что-нибудь в духе книжки Цвелика?)

[lek]

К сожалению, не подскажу. Все же мне ближе HEP в чистом виде...

[Munin]

Вроде бы, основное калибровочное поле в конденсированном состоянии (что в твёрдом теле, что в жидкости) - это вектор смещения. Если я вообще понимаю, о чём речь (не уверен в этом, поскольку удивлён противопоставлением конденсированного состояния и теории упругости).