Доказательство Галилея

[obar]

В некоторых книжках можно встретить гравюру, изображающую Галилея, бросающего с пизанской башни ядро и дробинку, которые падают одновременно. По некоторым данным, подобные эксперименты Галилей никогда не проводил (иначе бы убедился, что это не совсем так), а ограничился лишь мысленными построениями, описанными в его книге. Суть их заключается в следующем. Пусть, к примеру, тяжелое тело падает быстрее легкого. Выделим мысленно в большом теле малую часть. При падении большая часть стремится опередить малую (по предположению), а потому ею тормозится. Т.е., тело без малой части должно падать быстрее. Но это противоречит сделанному предположению, т.к. тело без малой части стало легче и потому должно падать медленнее. Аналогично доказывается противоречивость обратного утверждения. Вывод -- все тела должны падать одинаково.

Приведенное рассуждение верно для гравитации, но ошибочно для любого другого взаимодействия. Какие неявные предположения о взаимодействии заложены в этом доказательстве?

[lena7]

Мне известно другое галилеевское рассуждение. Пускай с башни одновременно кинули два одинаковых тела. Они падают одинаково быстро. Если мы соединим их мысленно тонкой ниточкой, то получим тело вдвое большей массы, но падать оно, разумеется, будет со всё той же скоростью.

[kw_artem]

lena7 в сообщении #595448 писал(а):

Мне известно другое галилеевское рассуждение. Пускай с башни одновременно кинули два одинаковых тела. Они падают одинаково быстро. Если мы соединим их мысленно тонкой ниточкой, то получим тело вдвое большей массы, но падать оно, разумеется, будет со всё той же скоростью.

очень замечательное рассуждение -- простое и короткое.

obar в сообщении #595424 писал(а):

Приведенное рассуждение верно для гравитации, но ошибочно для любого другого взаимодействия. Какие неявные предположения о взаимодействии заложены в этом доказательстве?

Возможно следующее рассуждение. Если представить, что мы кидаем заряженные отрицательно тела на положительно заряженную поверхность( заряд последней намного больше заряда тел), то получится, что ускорение произвольной малой части тела зависит от отношения её заряда к её массе. Тем самым для получения аналогичных рассуждений (первому посту) нужно предположить, что заряд равномерно распределен по всей массе (т.е. не по объему а по массе)тела. В рассуждениях Галилея это означает предположение о равенстве гравитационной и инерционной масс.

[venco]

obar в сообщении #595424 писал(а):

Приведенное рассуждение верно для гравитации, но ошибочно для любого другого взаимодействия. Какие неявные предположения о взаимодействии заложены в этом доказательстве?

Рассуждение верно для любого взаимодействия. Неявно используется равномерность материала тела. В случае с заряженным телом очень трудно отделить часть с пропорциональным зарядом, обычно заряды скапливаются на поверхности.

[obar]

Во-первых, в доказательстве предполагается, что сила притяжения зависит лишь от массы тела $F=F(m)$ и больше ни от каких других его характеристик. Во-вторых, что сила зависит от массы линейно. Это неявно использовалось когда принималось, что сила, действующая на составное тело, равна сумме сил притяжения малого и большого. Таким образом, в доказательстве неявно принималось, что сила притяжения имеет вид

$$ \vec{F}=m\vec{g}(\vec{r}) $$

где $\vec{g}(\vec{r})$ -- некоторая величина, одинаковая для всех тел в данной точке.

С современной точки зрения "доказательство" Галилея сродне тавтологии -- что заклали, то и получили.

[espe]

Можно ли подробнее узнать как из первого сообщения следуют эти Ваши выводы?

По-моему слова "тяжелое тело падает быстрее легкого" означают, что если $m_1>m_2$, то время падения $t_1<t_2$ и для средних ускорений $g_1>g_2$. О силах речи вообще не идёт.

Дальше пусть тело №1 состоит из двух равных частей $m_1=2m_2$. С одной стороны, так как масса тела равна $m_1$, ускорение должно быть $g_1$. С другой, так как у нас есть две половины массой $m_2$ каждая, то ускорение каждой половины и, как следствие, всего тела массы $m_1=2m_2$ будет $g_2<g_1$. Имеем противоречие. Тавтологии нет.

Где я не прав?

[Ales]

На мой взгляд, единственное неявное предположение, это то, что падение не зависит от формы тела.

Ещё обойден вопрос о материале (каменный, железный или золотой шар).
Опыт показал бы, что форма и материал влияют на скорость падения.

Ясное дело, что Галилей ничего не бросал с башни, тем более с Пизанской.

Кажется, были опыты с шарами и наклонной плоскостью.

Как видим теория и доказательство левые, "однако ж прав упрямый Галилей".

-- Вс июл 15, 2012 20:40:29 --

И конечно же во время Галилея ещё не были в ходу понятия: гравитационное взаимодействие, масса, второй закон Ньютона.

[Oleg Zubelevich]

obar в сообщении #595608 писал(а):

Во-первых, в доказательстве предполагается, что сила притяжения зависит лишь от массы тела $F=F(m)$ и больше ни от каких других его характеристик. Во-вторых, что сила зависит от массы линейно. Это неявно использовалось когда принималось, что сила, действующая на составное тело, равна сумме сил притяжения малого и большого. Таким образом, в доказательстве неявно принималось, что сила притяжения имеет вид

$$ \vec{F}=m\vec{g}(\vec{r}) $$

где $\vec{g}(\vec{r})$ -- некоторая величина, одинаковая для всех тел в данной точке.

С современной точки зрения "доказательство" Галилея сродне тавтологии -- что заклали, то и получили.

не очень понятно, что означает слово "сила" в контексте рассуждений, приписываемых Галилею. Сила -- это то, что стоит в правой части формулы $ma=F$, а эта формула была написана уже после смерти Галилея.

[ewert]

Фактически это означает, что ускорение не зависит от "величины" тела, но лишь от внешних по отношению к телу обстоятельств. Это один из реперов, на которые Ньютон при формулировке своего 2-го закона и ориентировался. Галилей ведь был одним из непосредственных предшественников Ньютона, да и даже хронологически работал совсем незадолго (особенно по тем временам) до него.

[obar]

espe в сообщении #595633 писал(а):

Можно ли подробнее узнать как из первого сообщения следуют эти Ваши выводы? По-моему слова "тяжелое тело падает быстрее легкого" означают, что если , то время падения и для средних ускорений . О силах речи вообще не идёт.

Конечно, в рассуждениях Галилея о силах речь не идет и идти не может. Но вопрос задачи состаял в том, чтобы выяснить "Какие неявные предположения о взаимодействии заложены в этом доказательстве".

Первый вывод (что сила зависит лишь от массы), думаю, очевиден. Вы сами, говоря о временах падения рассматриваете лишь массы и ничего более, что характеризует тело. Второй вывод (о линейности силы от массы) следует из того, что разбиение системы на сумму подсистем, считая их независимыми, возможно лишь при линейном законе силы.

Если эти рассуждения для вас не убедительно, можно зайти с другой стороны.
Какие исходные данные о силе притяжения заложенны в доказательстве Галилея? Никаких. Как же тогда, не имея ни каких выходных данных можно получить содержательные выводы (одновременное падение всех тел)? Тут возможно только два варианта: либо сделанный вывод тождество (верен во всех случаях) либо это софизм -- кажущееся доказательство с нарушением логики. Поскольку равенство времен падения, очевидно, не всегда выполняется, значит мы имеем дело с софизмом.

(Оффтоп)

И не нужно рассматривать мой вывод как нападки на Галилея. В то время подобный софизм имел наверняка большую эвристическую силу.

[Bulinator]

obar в сообщении #595424 писал(а):

Какие неявные предположения о взаимодействии заложены в этом доказательстве?

Ну если попытаться проделать те же рассуждения для, скажем ЭМ взаимодействия, то теперь нужно опрерировать не только с массой, но и зарядом. Т.е. предположение такое, что скорость/ускорение/время падения зависит только от массы тела.

-- Пн июл 16, 2012 15:04:28 --

Ведь гравитация тем и особенна, что там инертная масса и "заряд" взаимодействия- суть одна и та же величина.

[Munin]

obar в сообщении #595853 писал(а):

Конечно, в рассуждениях Галилея о силах речь не идет и идти не может.

Непонятно, почему не может.

obar в сообщении #595853 писал(а):

Какие исходные данные о силе притяжения заложенны в доказательстве Галилея? Никаких.

Неверно. Эти данные просто не оговорены явно, поскольку тогда не было такой традиции, она развилась только к концу 19 века, вместе с матлогикой и аксиоматическим подходом к математике.

obar в сообщении #595853 писал(а):

И не нужно рассматривать мой вывод как нападки на Галилея. В то время подобный софизм имел наверняка большую эвристическую силу.

Ваши софистические заявления, что рассуждения Галилея - софизм, - это именно нападки на Галилея. Будьте к нему уважительнее. И рассматривайте его действительные рассуждения, в контексте научных традиций того времени, а не вашу проекцию их на современные знания, представления, и манеру рассуждать.

[Утундрий]

Галилео Галилей - это, безусловно, башня (даже, если она является наклонной плоскостью, по коей скатываются шары). Отвлечемся от несовершенства клепсидр, опустим все биологические подробности исчисления биения пульса. Вообразим только шары и башню. Что возможно произвести из их неиллюзорного совокупления, учитывая наличие тяги земной? Заметим, между прочим, что течение воды есть стимул к отклонению весла а равно же то, что черпать сподручней ложкой, нежели шестом. Отсюда должно быть очевидным стремление к одновременному сбрасыванию с вершины башни равноформенных равновесных и равноцентрированных (в смысле идеальноцентрированности игровых костей) шаров, к примеру однородно деревянного и полого металлического. И что же мы наблюдём, соверша сие?

[Munin]

Я помню, что кто-то так маятники изучал, но Галилей или Гюйгенс, не помню. Подвешивал в качестве груза одинаковые деревянные ящички, в которые клал равные веса разных материалов.

[espe]

obar в сообщении #595853 писал(а):

Но вопрос задачи состаял в том, чтобы выяснить "Какие неявные предположения о взаимодействии заложены в этом доказательстве".

Первый вывод (что сила зависит лишь от массы), думаю, очевиден. Вы сами, говоря о временах падения рассматриваете лишь массы и ничего более, что характеризует тело.

С этим я не спорю. Но

obar в сообщении #595853 писал(а):

Второй вывод (о линейности силы от массы) следует из того, что разбиение системы на сумму подсистем, считая их независимыми, возможно лишь при линейном законе силы.

не есть "неявное предположение о взаимодействии заложеное в этом доказательстве". Это есть именно следствие, в условии предполагалась только что если $m_1>m_2$, то $F_1>F_2$. Так что тавтологии нет.