Два тела, связанные пружинкой, на наклонной плоскости.

[maxpower123]

Пытаюсь решить задачу 2.4.22 из Савченко. Не получается никак. Надо найти наибольшее удлинение пружины, трение есть только между верхним телом и плоскостью.
Вот условие.

[Oleg Zubelevich]

Сперва предположим, что , что $\dot x_2\ne 0$ , где $x_i$ -- координаты точек на оси , которая проходит вдоль наклонной плоскости и направлена вниз

Тогда

$$m\ddot x_2=k(x_1-x_2-l)-\mu \cos\alpha mg+mg\sin\alpha,\quad m\ddot x_1=-k(x_1-x_2-l)+mg\sin\alpha$$

$l$ -- длина расслабленой пружины,
откуда, обозначая $\delta=x_1-x_2-l$ получаем

$$m\ddot\delta=-2k\delta+\mu\cos\alpha mg$$

отсюда имеем

$$\frac{1}{2}m\dot\delta^2+k\delta^2-\mu\cos\alpha mg\delta=\mathrm{const}$$

1 сдучай. Груз 2 скользит c первого момента времени: $\mu<\tg\alpha$
.......

2 случай: груз 2 вообще не скользит
.......
3 случай: груз 2 начинает скользить после того как пружина несколько растянулась
.......

[maxpower123]

Спасибо большое!!!
До дифференциальных уравнений дошёл, а дальше никак не понимал, что делать, и как разбить на случаи.
И через интегрированное уравнение полегче.
Спасибо!

Ах, да только у меня в процессе решения возник вопрос, может ли сила трения поменять направление? То есть, в какой-то момент времени тело 2 начало двигаться вверх, и сила трения поменяла знак?

[ewert]

Там не надо никаких дифуров (в явном виде) и тем более интегрирований. Во втором случае второй грузик прибит гвоздиком, а первый испытывает гармонические колебания, удвоенная амплитуда которых (т.е. искомое максимальное отклонение) определяется просто из закона сохранения энергии. В первом случае движение складывается из равноускоренного движения центра масс (которое определяется суммой скатывающих сил и нас не интересует) плюс противофазных колебаний относительно центра масс. Амплитуда последних в пересчёте на один шарик определяется растягивающей силой, равной полуразности скатывающих сил, и удвоенной жёсткостью пружинки, после чего снова законом сохранения энергии. В третьем же случае движение сначала происходит по второму варианту, а потом (когда пружинка достаточно натянется) по первому, и надо эти два решения сшить; ну, тут придётся поковыряться.

[Oleg Zubelevich]

maxpower123 в сообщении #595134 писал(а):

Ах, да только у меня в процессе решения возник вопрос, может ли сила трения поменять направление?

Хороший вопрос. Вообще что бы разобраться в целом со всеми движениями надо бы фазовый портрет нарисовать на плоскости $(\delta,\dot \delta)$.

-- Сб июл 14, 2012 11:54:19 --

ewert в сообщении #595142 писал(а):

В третьем же случае движение сначала происходит по второму варианту, а потом (когда пружинка достаточно натянется) по первому, и надо эти два решения сшить; ну, тут придётся поковыряться.

Сшивать решения не надо, ковыряться тоже. Пусть $\delta_0$ -- растяжение пружины в момент, когда второе тело начинает скользить, тогда $k\delta_0=\mu mg \cos\alpha-mg\sin\alpha$ (уравнение равновесия для второго тела) и соответственно $m\dot\delta_0^2/2-\delta_0\sin\alpha mg+k\delta_0^2/2=0$ (закон сохранения энергии для первого тела).
Максимальное растяжение пружины наступит когда $\dot\delta=0$. Это максимальное растяжение $\delta$ найдется из квадратного уравнения

$$\frac{1}{2}m\dot\delta_0^2+k\delta_0^2-\mu\cos\alpha mg\delta_0=k\delta^2-\mu\cos\alpha mg\delta$$

Но сначала разумно разобрать второй случай, что бы понять в каком диапозоне находится $\mu$

[ogaman]

Центр масс системы движется равноускоренно, ну и так далее.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #595169 писал(а):

Но сначала разумно разобрать второй случай, что бы понять в каком диапозоне находится $\mu$

Очевидно, второй случай отвечает $\mu>3\tg\alpha$.

[ogaman]

ewert
Зачем усложнять задачу: в условии ясно сказано, что оба тела начинают движение одновременно.

[ewert]

ogaman в сообщении #595194 писал(а):

в условии ясно сказано, что оба тела начинают движение одновременно.

Если, конечно, смогут. А смогут -- только при $\mu<\tg\alpha$. Иначе -- второй или третий случай.

[ogaman]

ewert в сообщении #595196 писал(а):

ogaman в сообщении #595194 писал(а):

в условии ясно сказано, что оба тела начинают движение одновременно.

Если, конечно, смогут. А смогут -- только при $\mu<\tg\alpha$. Иначе -- второй или третий случай.

Стиль задачника Савченко таков, что если сказано, что тела начинают движение одновременно, то значит они и начинают движение одновременно: подразумевается, что соответствующие условия выполнены - даже с этими условиями данная задача многим не под силу. Впрочем Вас, как математика, я понимаю.

[Oleg Zubelevich]

посмотрите в ответ к задаче -- поймете, что разбирать надо все случаи

[ogaman]

Oleg Zubelevich в сообщении #595202 писал(а):

ogaman
посмотрите в ответ к задаче -- поймете, что разбирать надо все

В ответе говорится одно, а в условии - другое: довольно типичный случай. Пусть топикастер для начала разберет задачу, недвусмысленно сформулированную в условии: c физической точки зрения она самая привлекательная.

[ewert]

ogaman в сообщении #595204 писал(а):

В ответе говорится одно, а в условии - другое: довольно типичный случай.

Типично в данном случае другое -- неумение читать. Слова "начинают соскальзывать" вовсе не означают "начинают движение одновременно", последнее -- это уже Ваше домысливание. Эти слова означают лишь, что в начальный момент тела покоятся. Что же до "стиля Савченко", то Вы могли бы заметить, что задачник ориентирован на физматшколы, а конкретно эта задача ещё помечена звёздочкой. После чего само предположение о том, что автор подразумевал не полный разбор задачи, становится странным, даже без заглядывания в ответ.

[ogaman]

ewert в сообщении #595218 писал(а):

ogaman в сообщении #595204 писал(а):

В ответе говорится одно, а в условии - другое: довольно типичный случай.

Типично в данном случае другое -- неумение читать. Слова "начинают соскальзывать" вовсе не означают "начинают движение одновременно", последнее -- это уже Ваше домысливание.

А зачем Вы тогда гвозди забивали? И потом, я симметрично могу Вас обвинить в домысливании (впрочем, на Вашей стороне ответ в задачнике, на которые я никогда не смотрю и студентам ставлю оценку не за ответ).

[ewert]

ogaman в сообщении #595245 писал(а):

А зачем Вы тогда гвозди забивали?

Затем, что он (гвоздик) в соответствующем случае фактически забит.