Ядро эрмитова оператора. Комплексные числа.

[fortyq]

Ребята горю, нужна помощь. Вот смотрите. Если мы ищем собственные векторы оператора то это фигня и просто, трудно держать в голове все числа но тем не менее просто, до тех пор пока мы над полем действительных чисел.

как только мы над полем комплексных чисел фиг пойми как конструктивно и быстро найти собственный вектор, так как числа комплексные и сложнее понять что с чем складывает и на что умножать.

Например вот оператор (A-lyambda*E):

7+4I –3 7
–3 –1+4i 1
–7 –1 –3+4i

Как быстро и легко найти его ядро?
Для матриц 2x2 есть метод, а для 3x3?

Ребята с мехмата помогите, скоро экзамен, арррррр.

[мат-ламер]

fortyq в сообщении #594835 писал(а):

Как быстро и легко найти его ядро?

В какой-нибудь матпакет его затолкнуть. А если руками, то сначала надо найти собственные значения. Есть надежда, что что-то должно упроститься. Не решать же кубическое уравнение с комплексными коэффициентами.

[ewert]

Ну он вообще-то ни разу не эрмитов, а как бы даже в некотором смысле наоборот, так что лучше подождём, чего, собссно, ТС хоцца.

[svv]

Ему надо было найти собственные значения и собственные векторы матрицы
$\begin{bmatrix}7&-3&7\\-3&-1&1\\-7&-1&-3\end{bmatrix}$
Собственные значения ТС нашёл, получилось $3, -4i, 4i$.
Собственное значение $3$ проблемы не вызвало.

Теперь он берёт $\lambda=-4i$ и не совсем понимает, как решать однородную систему уравнений с матрицей
$\begin{bmatrix}7+4i&-3&7\\-3&-1+4i&1\\-7&-1&-3+4i\end{bmatrix}$ ,

fortyq писал(а):

так как числа комплексные и сложнее понять что с чем складывает и на что умножать

Вероятно, он пытался решить систему методом Гаусса, но облом произошел уже на попытке обнулить элемент $a_{21}$. На что надо умножать первую строку, чтобы после вычитания из второй тот элемент стал нулевым?

fortyq, я правильно понял Ваши проблемы?

[fortyq]

Svv да вы абсолютно правы. Нужно решить систему ДУ ну и так далее.

-- 14.07.2012, 09:46 --

Svv да вы абсолютно правы. Нужно решить систему ДУ ну и так далее.

[svv]

Давайте так решим. Умножим второе уравнение на $7$:
$-21 x_1+(-7+28 i) x_2+7 x_3=0$
А третье уравнение умножим на $3$:
$-21 x_1-3 x_2 +(-9+12 i)x_3=0$
И вычтем:
$(-4+28 i)x_2+(16-12 i)x_3=0$
Неизвестная $x_1$ исключилась, что и было целью этих действий.

Разделим на $4$ и перенесем слагаемое с $x_3$ в правую часть:
$(-1+7 i)x_2=(-4+3 i)x_3$
Нам достаточно найти одно решение этого уравнения. А самое простое решение уравнения $px_2=qx_3$ — это $x_2=q, x_3=p$, так что
$x_2=-4+3 i, x_3=-1+7 i$
Теперь, подставляя это во второе уравнение (или третье, да хоть в первое, только там сложнее будет), найдёте и $x_1=-3-4i$.

[fortyq]

svv вооот отлично, спасибо, на семинаре решали таким способом, я недопонял, а теперь все стало ясно. Спасибо.

[N!k!ta]

Товарищи, подскажите форум на тему "Комплексного анализа" и "Преобразования Лапласа " . Хотелось Перевести функцию двух переменных в пространство изображений ..

[svv]

Форум этот, dxdy, а раздел Помогите решить / разобраться (М).

Перед созданием темы ознакомьтесь с правилами:
topic3829.html