Неравенство Коши

[Rey]

Как с помощью неравенства Коши доказать следующее неравенство?
$\sqrt{a/(b+c)}+\sqrt{b/(c+a)}+\sqrt{c/(a+b)}>2$
Подскажите первый шаг или идею пожалуйста.

[arqady]

Rey в сообщении #545751 писал(а):

Как с помощью неравенства Коши доказать следующее неравенство?
$\sqrt{a/(b+c)}+\sqrt{b/(c+a)}+\sqrt{c/(a+b)}>2$
Подскажите первый шаг или идею пожалуйста.

У Вас $a$, $b$ и $c$ положительны? Если да, то попробуйте $\sqrt{\frac{b+c}{a}\cdot1}\leq\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}$.

[мат-ламер]

Константу двойку справа, вероятно, можно уточнить до $3/\sqrt 2$.

[arqady]

мат-ламер в сообщении #545894 писал(а):

Константу двойку справа, вероятно, можно уточнить до $3/\sqrt 2$.

Нет: $b=c=1$ и $a\rightarrow0^+$.
Но усилить неравенство так, чтобы равенство достигалось бы ещё там, где Вы хотите, можно:
Пусть $a$, $b$ и $c$ - неотрицательные, никакие два из которых не равны нулю. Докажите, что:

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$$

У этого последнего неравенства также имеется красивое доказательство.

[LAPLASS]

Цитата:

Пусть $a$, $b$ и $c$ - неотрицательные, никакие два из которых не равны нулю. Докажите, что:

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$$

У этого последнего неравенства также имеется красивое доказательство.

дайте пожалуйста arqady хотя бы маленькую подсказочку, очень хочется увидеть это красивое доказательство!

[sergei1961]

три корня слева можно наверное буквами обозначить...

[NIW]

По неравенству Коши:
$ \frac{a+b+c}{2\sqrt{a}}\geq \sqrt{b+c} => \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c} $ (аналогично для двух других дробей).
Тогда, $\ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} =2$.
Причем, равенство достигается когда $\ a=b+c $ и т. д., из трех равенств следует, что $\ a=b=c=0 $, т. е. при положительных $\ a,b,c $ неравенство строгое.

[sergei1961]

Если в неравенстве arqady заменить корни слева буквами, то получается такое милое неравенство:
$a+b+c\ge 2\sqrt{1+(abc)^2}$.
Возникает задача: описать множество неотрицательных значений $a,b,c$, при которых выполняется данное неравенство.
Решаемо?