Уравнение Шредингера

[Oleg Zubelevich]

Bulinator в сообщении #594140 писал(а):

Какое-нибудь частное решение найти реально?

так сказать, упростили задачу

найти частное решение ур-я Риккати это тоже самое, что найти его общее решение [Степанов Курс ДУ]

[Bulinator]

Oleg Zubelevich, ну вот смешок-то зачем?
Ведь нет же ничего смешного в том, что "найти частное решение ур-я Риккати это тоже самое, что найти его общее решение". Вы же понимаете, что смеятся над тем, что я не знаю чего-то, чем никогда не занимался- это хамство. Вам что, нравится когда вам хамят? Я не специалист, но, по-моему- это диагноз.

[Алексей К.]

Bulinator в сообщении #594140 писал(а):

Пусть есть уравнение Риккати:

$$ \beta'+\beta^2=V(x)+\epsilon, $$

Вдруг какая-нибудь халява типа

$$\beta(x)=\frac{x^3\sqrt{\epsilon}+bx^2+cx+d}{x(x-1)(x+1)}$$

сработает? Маловероятно, но втихаря можно и проверить...

[Bulinator]

Проверял уже

$$ \beta(x)=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}+\frac{C}{x} $$

дальше фантазия не идеть

[Vince Diesel]

Bulinator в сообщении #589275 писал(а):

Есть уравнение:

$$4x(1-x^2)^2f''+4m(1-x^2)^2f'+(ax^2+bx+c)f=0$$

Maple выдает некий ответ. Но не в виде известных функций, а специально для какого-то типа уравнений придумали обозначение. Там же в хелпе ссылки, на того, кто исследовал и отмечается, что в последние годы подобные уравнения неоднократно встречались.

[Bulinator]

Ух ты! Ух ты!! Я работаю на грани современной науки!!
Vince Diesel, у меня этого монстра(Maple) нет. Есть ли имена , фамилии ссылки или еще чего-то? Как вы, наверняка догадываетесь, я тоже хочу почитать.

[Vince Diesel]

Вот ответ, привожу в техе, поскольку он очень здоровый и на экран не влезает:

f \left( x \right) ={\it \_C1}\,{\it HeunG} \left( -1,-1/4\,{\frac {
 \left( c+m\sqrt {4+c+a-b} \right) \sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}+4\,
\sqrt {- \left( -1+m \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }}+m \left( -
4+c+a+b-2\,\sqrt {- \left( -1+m \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }
 \right) }{\sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}+4\,\sqrt {- \left( -1+m
 \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }}}},1/2+1/4\,\sqrt {4+c+a-b}+1/2
\,m+1/4\,\sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}+4\,\sqrt {- \left( -1+m
 \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }},-1/4\,{\frac { \left( -2\,m-
\sqrt {4+c+a-b}-2 \right) \sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}+4\,\sqrt {-
 \left( -1+m \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }}+c+a+b-8\,m+4\,{m}^
{2}}{\sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}+4\,\sqrt {- \left( -1+m \right) ^{
2} \left( a+b+c-4 \right) }}}},m,1+1/2\,\sqrt {4+c+a-b},-x \right) 
 \left( -x-1 \right) ^{1/2+1/4\,\sqrt {4+c+a-b}} \left( -x+1 \right) ^
{-1/4\,{\frac {-2\,\sqrt { \left( -4+4\,m \right) \sqrt {-a-b-c+4}+8-8
\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}}+ \left( 2-2\,m \right) \sqrt {-a-b-c+4}+a+b+c-4}
{\sqrt { \left( -4+4\,m \right) \sqrt {-a-b-c+4}+8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{
2}}}}}+{\it \_C2}\,{\it HeunG} \left( -1,1/4\,{\frac { \left(  \left( 
-2+m \right) \sqrt {4+c+a-b}-c \right) \sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}+
4\,\sqrt {- \left( -1+m \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }}+
 \left( -2+m \right)  \left( -4+c+a+b-2\,\sqrt {- \left( -1+m \right) 
^{2} \left( a+b+c-4 \right) } \right) }{\sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}
+4\,\sqrt {- \left( -1+m \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }}}},3/2+
1/4\,\sqrt {4+c+a-b}-1/2\,m+1/4\,\sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}+4\,
\sqrt {- \left( -1+m \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }},-1/4\,{
\frac { \left( -6-\sqrt {4+c+a-b}+2\,m \right) \sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,
{m}^{2}+4\,\sqrt {- \left( -1+m \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }}
+c+a+b-8\,m+4\,{m}^{2}}{\sqrt {8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}+4\,\sqrt {-
 \left( -1+m \right) ^{2} \left( a+b+c-4 \right) }}}},-m+2,1+1/2\,
\sqrt {4+c+a-b},-x \right) {x}^{1-m} \left( -x-1 \right) ^{1/2+1/4\,
\sqrt {4+c+a-b}} \left( -x+1 \right) ^{-1/4\,{\frac {-2\,\sqrt {
 \left( -4+4\,m \right) \sqrt {-a-b-c+4}+8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}}+
 \left( 2-2\,m \right) \sqrt {-a-b-c+4}+a+b+c-4}{\sqrt { \left( -4+4\,
m \right) \sqrt {-a-b-c+4}+8-8\,m-c-a-b+4\,{m}^{2}}}}}

Цитата:

The HeunG function is the solution of the Heun General equation. Following the first reference (at the end), the equation and the conditions at the origin satisfied by HeunG are

$$ {\it HeunG} \left( a,q,\alpha,\beta,\gamma,\delta,z \right) = $$ $$ ={\it DESol} \left( \left\{ {\frac {d^{2}}{d{z}^{2}}}{\it \_Y} \left( z \right) -{\frac { \left( \left( \alpha+\beta+1 \right) {z}^{2}+ \left( \left( -\delta-\gamma \right) a-\alpha+\delta-\beta-1 \right) z+\gamma\,a \right) {\frac {d}{dz}}{\it \_Y} \left( z \right) }{z \left( z-1 \right) \left( -z+a \right) }}- $$ $$ -{\frac { \left( \alpha\,\beta\,z-q \right) {\it \_Y} \left( z \right) }{z \left( z-1 \right) \left( -z+a \right) }} \right\} , \left\{ {\it \_Y} \left( z \right) \right\} , \left\{ {\it \_Y} \left( 0 \right) = 1,\mbox {D} \left( {\it \_Y} \right) \left( 0 \right) ={\frac {q}{ \gamma\,a}} \right\} \right) $$

Heun's equation is an extension of the 2F1 hypergeometric equation in that it is a second-order Fuchsian equation with four regular singular points. The 2F1 equation has three regular singularities. The HeunG function, thus, contains as particular cases all the functions of the hypergeometric 2F1 class.

Из общего хелпа:

Цитата:

The five multiparameter Heun equations have been popping up with surprising frequency in applications during the last 15 years. Heun equations include as particular cases the Lame, Mathieu, spheroidal wave, hypergeometric, and with them most of the known equations of mathematical physics.
Five Heun functions are defined as the solutions to each of these five Heun equations, computed as power series solutions around the origin satisfying prescribed initial conditions.

[1] Decarreau, A.; Dumont-Lepage, M.C.; Maroni, P.; Robert, A.; and Ronveaux, A. "Formes Canoniques de Equations confluentes de l'equation de Heun." Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles, Vol. I-II. (1978): 53-78.
[2] Ronveaux, A., ed. Heun's Differential Equations. Oxford, England: Oxford University Press, 1995.
[3] Slavyanov, S.Y., and Lay W. Special Functions, A Unified Theory Based on Singularities. Oxford, England: Oxford Mathematical Monographs, 2000.

[Bulinator]

Мда... Час от часу не легче. Ну ладно, пойду читать про Гойна.
Спасибо, Vince Diesel.

(Оффтоп)

Кстати, мне всегда казалось, что если Вольфрам не решает, то все остальные программы точно не решат. Например как-то мне понядобилось пострить график с функцией Аппеля, и оказалось, что кромне Математики о ней ни одна прога не знает. А вон, оказывается, есть смысл Maple устонавливать.

[Nemiroff]

Mathematica выдает что-то страшное на уравнение Рикатти:

DSolve[f'[x] +  f[x]^2 == (1 - m^2)/(4 x^2) + (2 a + b + 2 c)/(8*(1 - x)) + (2 a - b - 2 c)/(8*(1 + x)) + (a - c)/(4*(1 + x)^2) + (a + c)/(4*(1 - x)^2) + (b + 2 c)/(4*x) + d, f[x], x]

{{f[x] -> (4 x^2 - 8 x^4 + 4 x^6 - \[Sqrt]((-4 x^2 + 8 x^4 - 4 x^6)^2 - 4 (-4 x^2 + 8 x^4 - 4 x^6) (1 - m^2 + b x + 2 c x - 2 x^2 + 4 a x^2 + 4 d x^2 + 2 m^2 x^2 - b x^3 + 2 c x^3 + x^4 - 8 d x^4 - m^2 x^4 + 4 d x^6)))/(2 (-4 x^2 + 8 x^4 - 4 x^6))},
{f[x] -> (4 x^2 - 8 x^4 + 4 x^6 + \[Sqrt]((-4 x^2 + 8 x^4 - 4 x^6)^2 - 4 (-4 x^2 + 8 x^4 - 4 x^6) (1 - m^2 + b x + 2 c x - 2 x^2 + 4 a x^2 + 4 d x^2 + 2 m^2 x^2 - b x^3 + 2 c x^3 + x^4 - 8 d x^4 - m^2 x^4 + 4 d x^6)))/(2 (-4 x^2 + 8 x^4 - 4 x^6))}}

[Bulinator]

Nemiroff в сообщении #594323 писал(а):

Mathematica выдает что-то страшное на уравнение Рикатти:

Какой у вас компьютер? У меня Asus K53SD с процессором Intel(R) Core(TM) i7-2670QM CPU @ 2.20GHz stepping 07, 6GB ОЗУ с шиной 1333MHz, но команда выполняется дольше 5-и мин. Сколько вы ждали?

[Nemiroff]

Bulinator в сообщении #594384 писал(а):

Какой у вас компьютер?

Intel Core i5-2300, 2.8 ГГц; Corsair vengeance DDR-III 4Gb; GeForce GTX460SE
Как видите, хуже вашего во все дыры.

Bulinator в сообщении #594384 писал(а):

Сколько вы ждали?

Секунды три.

Может, я набрал что-то не то, соответственно, уравнение проще резко стало?

[Nemiroff]

Повторить не получается. И что это было тогда.

Я понял, что это было - кривые руки пользователя.
Там штрих как-то стерся.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #594424 писал(а):

Я понял, что это было - кривые руки пользователя.

Бывает. Я так однажды чуть было в Архив не отправил свое "величайшее открытие века "!