Ограниченность решения ДУ

[Trius]

Задано дифференциальное уравнение $y'+ay=f(x)$, где $a>0$ и функция $f$ непрерывна и ограниченна на $\mathbb R$. Доказать, что каждое решение этого уравнения ограниченно на $[0;+\infty]$.
Я решаю методом вариации постоянной, но вывести ограниченность не получается

[ewert]

Покажите, что Вы там нарешали методом вариации (хотя он тут вовсе и не обязателен -- достаточно того, что при выходе решения за пределы определённой полосы производная окажется такого знака, что решение будет возвращаться обратно в ту полосу).

[Oleg Zubelevich]

я бы предложил сформулировать и доказать обобщение этой теоремы на случай системы дифуров с матрицей зависящей от времени (конечно, возможны различные обобщения)

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #594045 писал(а):

я бы предложил сформулировать и доказать обобщение

Чего уж там стесняться -- давайте какой-нибудь учебник по дифурам целиком в эту ветку выложим.

[Trius]

ewert в сообщении #594027 писал(а):

Покажите, что Вы там нарешали методом вариации (хотя он тут вовсе и не обязателен -- достаточно того, что при выходе решения за пределы определённой полосы производная окажется такого знака, что решение будет возвращаться обратно в ту полосу).

$y=C(x_0)e^{-ax}+\int\limits_{x_0}^{x} e^{-a(x-t)}f(t) dt$

[chessar]

Trius
topic60562 - задача 4 не ваша ли?

[ewert]

Ну тупо и оцените интеграл, заменив функцию на её максимум модуля.

[Oleg Zubelevich]

я бы предложил решить такую задачу, она тоже совершенно простая , но не приучает к явному интегрированию или использованию малой размерности.
Пусть $\dot x=A(t)x+f(t),\quad x\in\mathbb{R}^m,$ матрица $A$ и вектор-функция $f$ непрерывны и ограничены при $t\ge 0$. Доказать, что если при всех $z$ и $t$ верно неравенство $z^TA(t)z\le - cz^Tz$ то все решения указанной системы ограничены. ($c$ -- положительная константа)

[ewert]

Так всё равно к одномерному и сводится: $\dfrac12\,\dfrac{d\|x\|^2}{dt}\leqslant-c\|x\|^2+\varepsilon\,\|x\|^2+\dfrac1{4\varepsilon}\,\|f\|^2$.

[Trius]

chessar в сообщении #594087 писал(а):

Trius
topic60562 - задача 4 не ваша ли?

Да, это она же.

ewert в сообщении #594088 писал(а):

Ну тупо и оцените интеграл, заменив функцию на её максимум модуля.

Спасибо, вроде получилось.