система с сухим трением и хорошей инвариантной мерой

[Oleg Zubelevich]

Длинный стержень вращается с частотой $\omega=const>0$ вокруг оси, которая ему перпендикулярна и пересекается с ним в точке $O$. По стержню скользит массивное кольцо, коэффициент сухого трения между кольцом и стержнем равен $\gamma\in (0,1)$. Если за $x$ обозначить координату вдоль стержня то уравнение движения кольца имеет вид

$$\ddot x=-2\gamma \omega \dot x+\omega^2x.$$

Фазовым пространством этой системы является плоскость $(x,\dot x)$. Данная система имеет инвариантную меру $\mu(D)=\int_D\rho(x,y)dxdy$ ($dxdy$ -- стандартная мера Лебега на плоскости, а не название форума) Функция $\rho(x,y)\ge 0$ непрерывна во всем фазовом пространстве и положительна почти всюду.
Кроме того, система имеет нетривиальный первый интеграл, который при некоторых значениях $\gamma$ является целой функцией.

[VPro]

1) Сухое, или кулоново трение в простейшем случае пропорционально знаку скорости: $ \gamma{\rm sign}\dot x$. Трение, пропорциональное скорости $ \gamma\dot x$ называют вязким, или жидким, трением.

2) И?

[Oleg Zubelevich]

Трение именно сухое. А то , что вам непонятно как выписывать уравнение, меня как-то не беспокоит.

[miflin]

VPro в сообщении #593218 писал(а):

2) И?

(Оффтоп)

Да просто очередная дразнилка от ТС

[VPro]

Oleg Zubelevich в сообщении #593437 писал(а):

Трение именно сухое. А то , что вам непонятно как выписывать уравнение, меня как-то не беспокоит.

И славно. И не беспокойтесь. Ясно уже, что Вы живете в параллельной вселенной, которая почти как наша, но отличается в конечном множестве деталей и понятий.

[scwec]

Будем действовать формально. Обозначим координаты в фазовом пространстве $(x,y=\dot x)$.
Векторное поле $X_1=y\frac{\partial}{\partial{x}}+({\omega}^2{x}-2\omega\gamma{y})\frac{\partial}{\partial{y}}$ соответствует уравнениям движения. Второе поле $X_2=x\frac{\partial}{\partial{x}}+y\frac{\partial}{\partial{y}}$ коммутирует с $X_1$. Далее все расматривается в области линейной независимости $X_1,X_2$.
Обозначим $\bigtriangleup=y^2-{\omega}^2{x}^2-2\omega\gamma{xy}$. $\bigtriangleup\ne{0}$ в области линейной независимости $X_1,X_2$.
Дуальные 1-формы $\Omega^1=\frac{y}{\bigtriangleup}dx-\frac{x}{\bigtriangleup}dy$, $\Omega^2=\frac{2\omega\gamma{y}-{\omega}^2{x}}{\bigtriangleup}dx+\frac{y}{\bigtriangleup}dy$.
$d\Omega^1=0, d\Omega^2=0$ в силу $[X_1,X_2]=0$.
Тогда в любой односвязной области $\Omega^1=dF^1, \Omega^2=dF^2$ и $F^2(x,y)$ - первый интеграл $X_1$. А поскольку $\operatorname{div}(X_1)=-2\omega\gamma$ и $\operatorname{div}(\psi{X_1})=X_1(\psi)+\psi\operatorname{div}(X_1)$, то интегрирующий множитель для $X_1$ равен $\varrho(x,y)=\exp(2\omega\gamma{F^1})$. Таким образом, и инвариантная мера и первый интеграл построены.
Впрочем, можно пойти еще более формальным путем, поскольку $X_1$ линейно и его можно проинтегрировать в квадратурах по Эйлеру.

[Oleg Zubelevich]

я рассуждал так матрица линейной системы $\dot x=y,\quad \dot y=-2\gamma \omega \dot x+\omega^2x$ имеет собственные числа вида $\lambda_1<0<\lambda_2$ поэтому после линейной замены переменных получаем систему $\dot u=\lambda_1 u,\quad \dot v=\lambda_2 v$ откуда $\rho=|u|^{-1-\lambda_2/\lambda_1}$, это если $\lambda_2>-\lambda_1$, а если нет, то $\rho=|v|^{-1-\lambda_1/\lambda_2}$. Если $\lambda_1/\lambda_2\in\mathbb{Q}$ то существует первый интеграл являющийся целой функцией. (Это будет функция вида $u^nv^{-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}n},\quad n\in\mathbb{N}$.)
Но эт о все просто, а самое интересное то, что все обнаруживается в системе c трением да еще с сухим.

[VPro]

Олег, прочтите для самообразования про сухое трение хотя бы вот это:
http://ics.org.ru/doc?pdf=1765&dir=r
И не будьте впредь столь самоуверенны.

[Oleg Zubelevich]

VPro в сообщении #593834 писал(а):

Олег, прочтите для самообразования про сухое трение хотя бы вот это:
http://ics.org.ru/doc?pdf=1765&dir=r
И не будьте впредь столь самоуверенны.

молодец! теперь задача: получить выписанное мной уравнение, используя формулу (1.1) из этой статьи.

[VPro]

Oleg Zubelevich в сообщении #593843 писал(а):

VPro в сообщении #593834 писал(а):

Олег, прочтите для самообразования про сухое трение хотя бы вот это:
http://ics.org.ru/doc?pdf=1765&dir=r
И не будьте впредь столь самоуверенны.

молодец! теперь задача: получить выписанное мной уравнение, используя формулу (1.1) из этой статьи.

Ваше уравнение при сухом трении получить невозможно. А получается совсем другое. При $\dot x=0$ и $|x|\le\mu N/\omega^2$, получим уравнение $\ddot x=0$. В противном случае $\ddot x=-\mu N {\rm sign}\dot x+\omega^2x$.

[Oleg Zubelevich]

Найдите $N$

[VPro]

Oleg Zubelevich в сообщении #593848 писал(а):

Найдите $N$

$N$ равно весу кольца и неизменно.

[Oleg Zubelevich]

я разве сказал, что кольцо находится под действием силы тяжести? Это во-первых.
Во-вторых хроший студент должен знать, что такое сила Кориолиса.

[VPro]

Хорошо. Согласен. Беру все возражения назад. Но, все таки, вы описали некоторый фокус, когда сухое трение ведет себя как вязкое. Назвать это "сухим трением" язык не поворачивается.