Шар в метрическом пространстве [пример]

[xmaister]

Существует ли метрическое пространство, в котором существует шара $B(r,x_0)=\{x|d(x,x_0)<r\}$, такой что $B'(r,x_0)=\{x|d(x,x_0)\le r\}$- не замкнут?

[Хорхе]

Нет. То, что дополнение открыто, легко доказывается из неравенства треугольника.

[ewert]

Нет просто потому, что расстояние (согласно неравенству треугольника) есть непрерывная функция относительно самого себя и, следовательно, поддерживает предельный переход в нестрогом неравенстве. А при чём тут первый шар -- совсем непонятно.

[xmaister]

А может ли быть так, что $\overline{B(r,x_0)}\ne\{x|d(x,x_0)\le r\}$

[ewert]

Может. Например, пространство -- это $(-\infty;-1]\cup[0;+\infty)$, $x_0=0$ и $r=1$.

[Someone]

Может. Возьмите на прямой метрику

$$\rho(x,y)=\begin{cases}|x-y|\text{, если }|x-y|<1,\\ 1\text{, если }|x-y|\geqslant 1.\end{cases}$$

А пример ewertа можно "ужать" до двух точек.