Последовательность Коши

[lyuk]

Понятие фундаментальности в ТВП отличается от фундаментальности в метрическом пространстве (см. определение, например, КА "ФА" с.97).

Понятие сходящейся последовательности или направлености -- не отличаются. Эти понятия в метрическом пространстве тоже топологические.

[Nemiroff]

xmaister в сообщении #593585 писал(а):

Nemiroff
, т.е. фундаментальность таки зависит от метрики?

Ну вот к моему примеру последовательность $x_n=-n$. В $(\mathbb R,d)$ она не фундаментальна, а в $(\mathbb R,\rho)$ фундаментальна, но при этом расходится (там ведь топология одинаковая порождается).

Вообще, я не слишком в этом шарю, так, мимо с примером проходил.

[lyuk]

Не надо путать фундаментальность в метрическом пространстве и фундаментальность в ТВП. Это разные понятия. Именно этот факт, в частности, иллюстрирует ваш пример.

[Nemiroff]

lyuk в сообщении #593595 писал(а):

фундаментальность в ТВП.

Что это и зачем?

Вроде бы у автора метрика подразумевается.

[xmaister]

Nemiroff, спасибо! Теперь знаю, что существует не инвариантная метрика $d$ на метризуемом ТВП, такая что семейство фундаментальных в ТВП и семейство фундаментальных в метрическом $(X,d)$- различны. Это меня и интересовало изначально

lyuk в сообщении #593587 писал(а):

Понятие сходящейся последовательности или направлености -- не отличаются. Эти понятия в метрическом пространстве тоже топологические.

Надо понимать, что рассматривается векторная топология $\tau$ на $X$ и метрика $d$ с ней совместная. И тогда семейство сходящихся $d$-последовательностей совпадает с семейством сходящихся $\tau$-последовательностей. Если так, то это понятно.