Последовательность Коши

[xmaister]

Существует ли не инвариантная метрика $d$ на метризуемом ТВП с топологие $\tau$, такая что семейство $d$- последовательностей Коши и $\tau$- последовательностей Коши различны?

[Oleg Zubelevich]

в топлогическом векторном пространстве свойство последовательности (вообще сети) быть последовательностью Коши является топологическим, оно не связано с метриками. Так что если $d$ задает топологию $\tau$...

[Хорхе]

Метрика и топология должны быть согласованы, я полагаю.

Пример легко строится даже в $\mathbb R$ -- с помощью некоторой метрики его можно сделать неполным.

ЗЫ то, что пишет Oleg Zubelevich, правильно, но определение фундаментальной последовательности будет, вообще говоря, разным для метрики и задаваемой ей топологии, если метрика не является сдвиг-инвариантной.

[xmaister]

Когда я доказываю, что если $\{x\}_{n\in\mathbb{N}}$ фундаментальная относительно инвариантной метркии $d$ последовательность тогда и только тогда, когда она фундаментальна относительно $\tau$ я обязательно пользуюсь инвариантностью $d$. $\forall\varepsilon >0\ \exists\ N\forall\ n,m>N\ d(x_m,x_n)<\varepsilon\Leftrightarrow $
$\forall\varepsilon >0\ \exists\ N\forall\ n,m>N\ d(x_m-x_n,0)<\varepsilon$... Или на ТВП каждая метрика инвариантна?

[Oleg Zubelevich]

Хорхе в сообщении #593560 писал(а):

Пример легко строится даже в $\mathbb R$ -- с помощью некоторой метрики его можно сделать неполным.

что-то я не понял, а приведите такой пример

[xmaister]

Хорхе в сообщении #593560 писал(а):

ЗЫ то, что пишет Oleg Zubelevich, правильно, но определение фундаментальной последовательности будет, вообще говоря, разным для метрики и задаваемой ей топологии, если метрика не является сдвиг-инвариантной.

Не понял, т.е. если топология на ТВП и не инвариантная метрика согласованы, то что значит это "различие в определении"? Пояните, я не понимаю.

[Oleg Zubelevich]

а уже понял, пример не нужен

[xmaister]

Так всегда ли не инвариантная метрика и совместная с ней векторная топология будет определять один и тот же запас фундаментальных последовательностей?

-- 08.07.2012, 20:54 --

Ах да, понял... инвариантность таки существенна. $d_1(x,y)=|x-y|, d_2(x,y)=\left|\frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}\right|$

[lyuk]

Последовательность $(x_n)$ в ТВП $X$ называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любой ону $U$ существует номер $N\in\mathbb N$ такой, что для всех $m.n\geq N$ выполняется условие $x_n-x_m\in U$.

Это определение топологическое. Поэтому если последовательность фундаментальная в метризуемом ТВП, то этот факт не зависит от метрики, которую мы вибираем.

С другой стороны, фундаментальность метрическая зависити от метрики, а сходимость -- нет. Поэтому подойдет любой пример двух метрик на ТВП, относительно которых пространство полно и неполно.

[Nemiroff]

lyuk в сообщении #593570 писал(а):

Поэтому если последовательность фундаментальная в метризуемом ТВП, то этот факт не зависит от метрики, которую мы вибираем.

Пространство $\mathbb R$. Метрики $d(x,y)=|x-y|, \rho(x,y)=|e^x-e^y|$, $(\mathbb R,d)$ полно, $(\mathbb R,\rho)$ неполно, топологии, порождаемые метриками, одинаковые.

[xmaister]

lyuk в сообщении #593570 писал(а):

этот факт не зависит от метрики, которую мы вибираем.

Что значит топологическое? Пусть $d_1,d_2$- 2 метрики (не обязательно инвариантные) определяют одну и туже топологию. Как доказать, что они определяют один и тот же запас фундаментальных последовательностей? Если $d_1$ и $d_2$- инвариантны, то всё ясно $\forall\varepsilon >0\ \exists\ N\forall\ n,m>N\ d(x_m-x_n,0)<\varepsilon$. А для не инвариантных что делать то? $d(x_n,x_m)\ne d(x_n-x_m,0)$ Не понимаю....

[lyuk]

Фундаментальность в ТВП -- понятие топологическое. Это значит, что фундаментальность последовательности зависит только от топологии, а именно, от ону.

[xmaister]

lyuk в сообщении #593577 писал(а):

Это значит, что фундаментальность последовательности зависит только от топологии, а именно, от ону.

Это значит, что каждая метрика совместная с топологией определяет один и тот же запас фундаметальных последовательностей? Я же знаю определение фундаментальности в метрических пространствах, не обязательно ТВП. Они что разные чтоли? Я вообще запутался

[Nemiroff]

lyuk в сообщении #593577 писал(а):

Фундаментальность в ТВП -- понятие топологическое.

Я же контрпример привел.

[xmaister]

Nemiroff
, т.е. фундаментальность таки зависит от метрики? И сходимость получается тоже?