Взаимная простота

[Ktina]

а) Существуют ли 2012 натуральных чисел, среди которых никакие два числа не являются взаимно простыми, а любые три взаимно просты?

б) Существует ли бесконечное множество натуральных чисел, среди которых никакие два числа не являются взаимно простыми, а любые три взаимно просты?

[muzeum]

Данная задача очевидным образом сводится к следующей:
Имеется некоторое множество Р элементов, которые мы именуем точками;
на нем задано семейство L подмножеств, именуемых прямыми.
Выполнены условия:
1. Любые две прямые имеют общую точку.
2. Любая точка принадлежит не более, чем двум прямым.
Назовем точку "лишней", если она принадлежит не более, чем одной прямой.
Выбросим из Р все лишние точки. Тогда полученное система будет удовлетворять всем требованиям.
Если число прямых больше двух, то любые две прямые представляют различные множества точек.
Рассмотрим бинарное отношение на Р:
Точка х эквивалентна у, если и только если они принадлежат двум различным прямым.
Определенное так отношение является отношением эквивалентности. На фактор множестве естественным образом определяется семейство подмножеств L так, что получаемая система удовлетворяет заданным условиям.
Число прямых при этом не изменяется.
Получим систему удовлетворяющую требованиям:
1. Через каждую точку проходят ровно две прямые.
2. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
В этой системе выполняется предложение:
На любых двух прямых одинаковое количество точек.
Обозначим это количество k.
Тогда количество прямых равно k+1.
Количество точек равно $\frac{k(k+1)}{2}$.
Заметим, что нас интересует количество прямых, а не точек. Это количество может быть любым, большим двух.
Если не использовать предложенных выше преобразований условия, то и 2 прямые и 1 прямая - возможные ситуации. Разумеется, предполагаем, что взаимно просты любые три различные числа. Бесконечная совокупность тоже возможна.
Что касается систем с условиями:
1. Через каждую точку проходят ровно две прямые.
2. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. ,
то они интересны тем, что две такие конечные системы изоморфны, если содержат равные количества прямых.

[Ktina]

Я через теорию графов решала.
Построим граф с 2012 вершинами и на каждом ребре запишем простое число (все простые числа будут попарно различны). Тогда каждое из 2012 искомых чисел - произведение простых чисел на рёбрах, исходящих из данной вершины.

Вот пример для пяти таких чисел:

2*3*5*7,
2*11*13*17,
3*11*19*23,
5*13*19*29,
7*17*23*29.

Любые два из этих пяти имеют общий делитель, а любые три - взаимопросты в совокупности.
Так можно построить сколь угодно большое конечное множество натуральных чисел с требуемым свойством.

Бесконечное множество - нельзя.
У каждого натурального числа конечное число делителей. Но если оно имеет общий делитель с каждым из остальных, то хотя бы один из его делителей - общий для некоторого бесконечного подмножества. Три числа, взятые из этого бесконечного подмножества, не будут взаимопростыми.

[muzeum]

Прошу прощения за неаккуратность. Действительно, условие, что речь идет о числах, автоматически влечет, что количество точек на "прямых" конечны. Так что бесконечность невозможна.
Если говорить на языке теории графов, то, разумеется, Вы имели ввиду полный граф. Очень симпатичное решение.