уравнение Пелля и вероятности извлечения шаров из урны

[Горьковчанин]

Уважаемые!
А книге Мостеллера про 50 вероятностных задач упоминается следующая: при каком наименьшем числе белых и чёрных шаров в урне вероятность появления двух белых шаров при извлечении без возвращении равна одной второй. Дальше говорится, что решение этой задачи сводится к уравнению Пелля. Кто-нибудь знает, как именно она сводится?

[worm2]

Пусть всего шаров в корзине n, белых --- m. Вероятность извлечения белого --- m/n. Вероятность извлечения второго белого (при условии, что первый был белым) --- (m-1)/(n-1). Получаем: m(m-1)/n/(n-1) = 1/2, откуда n*n=2*m*m-1.

[Горьковчанин]

worm2 писал(а):

m(m-1)/n/(n-1) = 1/2, откуда n*n=2*m*m-1.

С этого момента поподробней?

[RIP]

$$n(n-1)=2m(m-1)\qquad\Longleftrightarrow\qquad(2n-1)^2=2(2m-1)^2-1$$

[Горьковчанин]

RIP писал(а):

$$n(n-1)=2m(m-1)\qquad\Longleftrightarrow\qquad(2n-1)^2=2(2m-1)^2-1$$

Пусть m=15, n=21. Тогда первое есть верное тождество 420=420, а второе - ложное точждество 1681=57. Сомневаюсь, что скромные лимиты сего форума помешали Вам обосновать Вашу догадку, ибо век Ферма прошёл.

[Lion]

Горьковчанин писал(а):

Сомневаюсь, что скромные лимиты сего форума помешали Вам обосновать Вашу догадку, ибо век Ферма прошёл.

В наш век, век компьютеров, как-то странно, Вы ухитрились подсчитать значение в правой части настолько неверно. Перепроверьте, справа тоже получается 1681.

[RIP]

Горьковчанин, по какой-то причине в правой части Вы забыли возвести в квадрат.

[Горьковчанин]

RIP писал(а):

Горьковчанин, по какой-то причине в правой части Вы забыли возвести в квадрат.

Спешил, должно быть! Знать, Век Ферма - это не время, а состояние души Приношу извинения

[worm2]

Да ладно, я вон как облажался:

worm2 писал(а):

m(m-1)/n/(n-1) = 1/2, откуда n*n=2*m*m-1.

До сих пор не пойму, как же это у меня так получилось

[Горьковчанин]

Сдаётся мне, уравнение Пелля в общем виде выглядит так: $x^2-Dy^2=1$, а не $Dx^2-y^2=1$.

[Руст]

Всё верно. Второе уравнение не всегда имеет решение (например D=3). Вообще, часто уравнение $x^2-Dy^2=A$ так же называют уравнением Пелля, помня при этом, что при А отличным от 1 решение может не существовать.