Дисперсия

[vix]

Добрый день! Всем известна такая мера разброса случайной величины, как дисперсия. Если дана некоторая последовательность наблюдений, то дисперсия понимается как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого из значений последовательности от среднего значения. В литературе, с которой я имел возможность ознакомится, понятие дисперсия вводится без всякого подготовительного объяснения, т. е. просто есть такая величина. У меня возник вопрос, зачем возводить разность между каждым из значений последовательности и средним значением в квадрат? С одной стороны понятно, что квадрат нужен для того, чтобы убрать знак минус, в случае, если какое-то значение последовательности меньше среднего, поскольку, как известно, сумма всех абсолютных отклонений от среднего значения равна нулю. Но что мешает вместо возведения в квадрат использовать модуль? И такая величина существует, она называется среднее абсолютное отклонение. Получается, что среднее абсолютное отклонение больше среднего квадратического отклонения на корень из n (где n - число элементов в последовательности). Поэтому, ещё раз повторяюсь, меня интересует вопрос, как конкретно выводится формула дисперсии, откуда берется квадрат?

P.S. Если я написал здесь какую-то глупость, заранее прошу прощения. Математикой занимаюсь как любитель.

[ИСН]

Вот выборка: 1, 3, 9, 11. Найдите её среднее абсолютное отклонение, но не от среднего, а от числа 4.

[kw_artem]

Из дисперсии получается такая важная величина, как среднеквадратическое отклонение $\sigma=\sqrt{D}$, $D$ -- дисперсия. А через сигму, например, если вы изучаете какое то явление (т.е. более менее формально производите один и тот же эксперимент несколоько раз и записываете измерения)с целью узнать действительно ли оно происходит случайно (таким примером может быть изучение случайности выпадения кубика -- а то вдруг он шулерский ), вы сможете оценить как раз степень случайности изучаемого явления.

-- 07.07.2012, 21:54 --

Если про сигму не понятно то почитайте про "правило трёх сигм"

[vix]

to ИСН:

$$ (\left|1-4\right|+\left|3-4\right|+\left|9-4\right|+\left|11-4\right|)/ 4=(3+1+5+7)/4=4$$

to kw_artem:
Я понимаю, что дисперсия представляет собой меру рассеяния элементов совокупности вокруг среднего значения. Мне непонятно, зачем для этого использовать квадраты, а не модули. Когда мы получаем среднеквадратическое отклонение, мы извлекаем квадратный корень из дисперсии, т. е. в числителе у нас как раз и получается модуль, а в знаменателе кв. корень из n. Я об этом написал в первом посте: "Получается, что среднее абсолютное отклонение больше среднего квадратического отклонения на корень из n (где n - число элементов в последовательности)".

[ИСН]

А теперь, пожалуйста, найдите её среднее абсолютное отклонение от среднего значения.

[PAV]

vix
эти две характеристики разные, они не получаются одна из другой никаким простым преобразованием типа извлечения корня или чего-то подобного.

[kw_artem]

вы немного попутали: сама сумма квадратов целиком под корнем, и ,конечно, у вас не получится в числителе никаких модулей (корень не из каждого квадрата извлекается). Вот формула сами посмотрите:

$$\sigma=\sqrt{\frac 1 n\sum\limits_{i=1}^n (x_i-m)^2}$$

,в частности для $n=3$:

$$\sigma=\sqrt{\frac {(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+(x_3-m)^2} 3}$$

Убедились?

[vix]

to ИСН:
Также получается 4.

to PAV и kw_artem:
Вы правы, теперь вижу.

[ИСН]

Вот! Ну так и зачем нам нужна такая мера отклонения, которая мышей не ловит?

[profrotter]

vix в сообщении #593173 писал(а):

Поэтому, ещё раз повторяюсь, меня интересует вопрос, как конкретно выводится формула дисперсии, откуда берется квадрат?

Можно всякую меру использовать: и с модулем и с квадратом. Просто квадрат оказывается удобнее. Его и дифференцировать можно при надобности и рассматривать как центральный степенной момент плотности распределения вероятности (ПРВ), который будет характеризовать степень локализации около среднего (если фигуру, ограниченную графиком ПРВ и осью абсцисс условно рассматривать как пластинку с распределённой массой. Имеется аналогия с моментом инерции относительно оси, определяемой мат. ожиданием). А ещё размерность у квадрата оказывается подходящая, чтобы в некоторых удобных случаях дисперсию соотносить со средней мощностью случайного процесса например.

Проще всего дисперсию понимать как математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины $D_X=M\{(X-m_X)^2\}$. Простая формула, но квадрат можно сразу же раскрыть и получить ещё одну формулу для дисперсии, можно получить ещё много разных формул и свойств. А напишем мы $D_X=M\{|X-m_X|\}$, а дальше что? - А дальше ничего. Непонятно что с этим дальше делать. Смысл понятий один и тот же: рассматривается среднее отклонение значений случайной величины от среднего значения, при этом отклонения в большую или меньшую сторону являются равноправными.

А собственно то, с чего Вы начали, относится не к введению формулы для дисперсии, а к вопросам обработки результатов наблюдений, где дисперсия определяется приближённо.

vix в сообщении #593173 писал(а):

В литературе, с которой я имел возможность ознакомится, понятие дисперсия вводится без всякого подготовительного объяснения, т. е. просто есть такая величина.

Есть простенькая книжка Е.С. Вентцель Теория вероятностей. Там и про дисперсию с мат. ожиданием и про обработку опытов.

[vix]

Большое всем спасибо за ответы и подсказки, буду разбираться дальше.)