Тригонометрическое уравнение

[Keter]

lek, синус, $\dfrac{5}{4}$, как так К тому же ТС писал:

dnoskov в сообщении #592489 писал(а):

П. С. Ответ из задачника: ${\pi \over 4}+(-1)^n\arcsin{\sqrt{2}\over 4}+\pi n$

-- 06.07.2012, 11:56 --

Судя по углу $\dfrac{\pi}{4}$, автор подразумевал вспомогательный угол.

[bot]

Ещё есть тождества $\pm\sin 2x=(cos x\pm \sin x)^2-1$. В данном случае применяем то, что с минусом, и получаем квадратное уравнение относительно $cos x - \sin x$

А $\frac{\pi}{4}$ потому что $\cos x - \sin x=\sqrt2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

[Shtorm]

lek в сообщении #592653 писал(а):

Отсюда

$$ x=\frac12\arcsin{\frac34}+\pi k\quad $$

Такое значение $x$, не удовлетворяет исходному уравнению.

[lek]

Keter в сообщении #592705 писал(а):

lek, синус, $\frac54$, как так

Это означает, что соответствующее решение для переменной $t=\sin x-\cos x$ не входит в ОДЗ исходного уравнения.

Keter в сообщении #592705 писал(а):

К тому же ТС писал...

Решение из задачника эквивалентно тому, что я привел выше. Это легко показать, используя тождества, которые выписал bot. А именно, из уравнения $-\sin 2x=(\sin x-\cos x)^2-1=t^2-1$ и условия $t>0$ следует, что $\sin 2x=3/4$ тогда и только тогда, когда
$t=1/2$ (второй корень $t=3/2$, как я уже говорил, лишний). Решение же уравнения $t=\sqrt{2}\sin(\pi/4-x)}=1/2$ дает ответ из задачника.

[Shtorm]

lek, а Вы можете мне объяснить, почему же эти значения:

$$ \frac12\arcsin{\frac34}\quad $$

$${\pi \over 4}+\arcsin{\sqrt{2}\over 4}$$

получаются различными?

[Jnrty]

А почему они должны быть одинаковыми?

lek в сообщении #592763 писал(а):

$\sin 2x=3/4$ тогда и только тогда, когда $t=1/2$

Неверно.

[lek]

Shtorm в сообщении #592914 писал(а):

lek, а Вы можете мне объяснить, почему же эти значения ... получаются различными?

Они действительно различны. Однако справедливы следующие равенства:

$$ \frac12\arcsin{\frac34}=\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}, $$

$$ \frac12\left(\pi-\arcsin{\frac34}\right)=\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}. $$

Jnrty в сообщении #592925 писал(а):

Неверно.

Не убедительно...

[Shadow]

lek в сообщении #592653 писал(а):

Keter в сообщении #592601 писал(а):

dnoskov, есть такая штука, вспомогательный угол.

Да проще там все гораздо. ТС получил пару решений для $t=\sin{x}-\cos{x}$:

$$ t_1=\frac12,\quad t_2=\frac32. $$

Подставляем их в уравнение

$$ 4\sin{2x}+8(\sin{x}-\cos{x})-7=0 $$

и имеем

$$ \sin{2x}=\frac34,\quad\sin{2x}=\frac54. $$

Отсюда

$$ x=\frac12\arcsin{\frac34}+\pi k $$

lek, у Вас тут лишние корни, решение верно толко для нечетных к. Оттого, что у уравнения $\sin{2x}=\frac 3 4$ корни в 2 раза болшье, чем у $\sin x - \cos x=\frac 1 2$

[Someone]

lek в сообщении #592983 писал(а):

Не убедительно...

А в чём там убеждать-то надо? Возьмите $t=-\frac 12$ и олучите то же самое $\sin 2x=\frac 34$. Вы там упоминали, что $t>0$ (откуда это?), но, уравнение $\sin 2x=\frac 34$ об этом "не знает" и имеет лишние корни.

[lek]

Shadow, еще раз взгляните на тождества выше. Добавьте к левой и правой частям $\pi k$ и получите необходимые решения (без каких-либо лишних корней).
Someone, читайте тему сначала. Условие $t>0$ возникло после того, как ТС нашел корни квадратного уравнения для $t$. И они оба оказались положительными: $t_1=1/2$ и $t_2=3/2$. Для того, чтобы решить исходное уравнение достаточно рассмотреть лишь эту пару значений. Вы же рассматриваете более общую ситуацию, которая к решению исходного уравнения ТС прямого отношения не имеет.

[Someone]

lek в сообщении #593002 писал(а):

Условие $t>0$ возникло после того, как ТС нашел корни квадратного уравнения для $t$. И они оба оказались положительными: $t_1=1/2$ и $t_2=3/2$.

Тем не менее, это не мешает уравнению $\sin 2x=\frac 34$ иметь корни, для которых $t$ не равно ни одному из этих значений. И после нахождения корней необходима соответствующая проверка, которой я не вижу.

lek в сообщении #592653 писал(а):

имеем

$$ \sin{2x}=\frac34,\quad\sin{2x}=\frac54. $$

Отсюда

$$ x=\frac12\arcsin{\frac34}+\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac12\left(\pi-\arcsin{\frac34}\right)+\pi k. $$

Зато посторонние корни вижу.

[lek]

Someone, из приведенных выше тождеств (а в их справедливости можно убедиться прямым вычислением) следует, что данные решения совпадают с решениями из задачника, которые привел выше ТС. Поэтому, если вы считаете, что что-то не так, то не ограничивайтесь общими замечаниями, а приведите альтернативное решение. Тем более, что я не ТС и подобные задачи для меня не более, чем развлечение...

[Someone]

lek в сообщении #593022 писал(а):

из приведенных выше тождеств (а в их справедливости можно убедиться прямым вычислением) следует, что данные решения совпадают с решениями из задачника, которые привел выше ТС.

dnoskov в сообщении #592489 писал(а):

П. С. Ответ из задачника: ${\pi \over 4}+(-1)^n\arcsin{\sqrt{2}\over 4}+\pi n$

Не все совпадают. Например, для $x=\frac 12\arcsin\frac 34$ ($x$ и $2x$ - острые углы) получаем $\cos 2x=\sqrt{1-\left(\frac 34\right)^2}=\frac{\sqrt{7}}4$, $\sin x=\sqrt{\frac{4-\sqrt{7}}8}$ и $\cos x=\sqrt{\frac{4+\sqrt{7}}8}>\sin x$, поэтому $t=\sin x-\cos x<0$.
В то же время для $x=\frac{\pi}4+\arcsin\frac{\sqrt{2}}4$ и для $x=\frac{\pi}4+\left(\pi-\arcsin\frac{\sqrt{2}}4\right)$ получается правильное значение $t=\frac 12$.

lek в сообщении #593022 писал(а):

подобные задачи для меня не более, чем развлечение...

Ну, поэтому Вы, вероятно, кое-что подзабыли.

[lek]

Someone в сообщении #593048 писал(а):

Ну, поэтому Вы, вероятно, кое-что подзабыли.

Вы правы . Как ранее верно заметил Shadow, в предложенном решении целое $k$ не произвольно. Исправляюсь:

$$ x=\frac12\arcsin{\frac34}+(2k-1)\pi\quad\text{и}\quad x=\frac12\left(\pi-\arcsin{\frac34}\right)+2k\pi. $$