Олимпиадные задачи

[LAPLASS]

Пусть $x_1>x_2>...x_n>0$. Доказать неравенство
$\sqrt{\sum x_k^2}\leqslant\sum x_k/\sqrt k$

[maxal]

Поделите на $\sqrt{k}$ и получите неравенство о средних.

[LAPLASS]

[quote="maxal в сообщении #592894"]
[/quote
]и все таки я не понял идею

[Edward_Tur]

maxal в сообщении #592894 писал(а):

Поделите на $\sqrt{k}$ и получите неравенство о средних.

???

[maxal]

Виноват. Привиделось $\sqrt{n}$ вместо $\sqrt{k}$. И неравенство было бы в другую сторону.

[maxal]

Доказательство индукцией по $n$.
Для $n=1$ неравенство очевидно. Пусть теперь $n>1$ и

$$\sqrt{\sum_{k=1}^{n-1} x_k^2} \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k}{\sqrt{k}}.$$

Обозначим левую часть этого неравенства через $p$, правую - через $q$. Нам нужно доказать, что $\sqrt{p^2 + x_n^2} \leqslant q + \frac{x_n}{\sqrt{n}}$.
Так как $x_n$ - наименьшее из $x$'ов, имеем $x_n^2 \leqslant \frac{p^2}{n-1}$, то есть, $\frac{x_n}{p}\leqslant \frac{1}{\sqrt{n-1}}$. Откуда:

$$\sqrt{p^2+x_n^2} = p\cdot\sqrt{1+\frac{x_n^2}{p^2}} \leqslant p\cdot \left(1+\frac{x_n^2}{2p^2}\right) = p + \frac{x_n^2}{2p} \leqslant q + \frac{x_n}{2\sqrt{n-1}} < q + \frac{x_n}{\sqrt{n}},$$

ч.т.д.

[LAPLASS]

очень интересное доказательство, спасибо!!!