Помогите разобраться с нахождением условного экстремума

[Raynor]

Дана функция $f=xy$ и уравнение связи $x^2+y^2=1$
С помощью метода множителей Лагранжа нахожу, что $\lambda=-\frac{y}{2x}$, $x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt 2}$ и $y_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt 2}$
Беру первую точку $P_{0}(\frac{1}{\sqrt 2},\frac{1}{\sqrt 2})$, для нее $\lambda=-\frac{1}{2}$
Вычисляю второй дифференциал функции Лагранжа $d^2L=dx^2+2dxdy+dy^2$
Далее делаю следующее с уравнением связи: $g=x^2+y^2-1$ откуда $dg=2xdx+2ydy$ из чего $dx=-dy$ и при подстановке этого во второй дифференциал функции Лагранжа получаю, что $d^2L=0$ т.е. точка может быть и минимумом и максимумом, а может вообще не быть экстремумом, как мне исследовать эту точку дальше?

P.S.
В ответе к задаче эта точка есть и она является условным максимумом.

[Yu_K]

Просто замену сделайте $x=\cos t$, $y=\sin t$ - будет функция одной переменной.

И проверьте второй дифференциал в своих выкладках - похоже множитель отрицательный там потерялся у Вас.

[мат-ламер]

В первом посте где-то ошибка. Но где - сказать сложно.

[Yu_K]

мат-ламер

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-2=-1$$