О. Я. Савченко 2.2.32

[Teplorod]

Я, решая задачник О. Я. Савченко, наткнулся на задачу, которую решить у меня не выходит. Прошу подсказки.

В цилиндре массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N>>1$

[BISHA]

Teplorod в сообщении #312511 писал(а):

наткнулся на задачу

Сомневаюсь, но. Зная основное уравнение МКТ, найдем кинетическую энергию частицы, .....Далее все очевидно.

[Teplorod]

На сколько я знаю, из основного уравнения МКТ я смогу найти среднюю энергию частицы.

[BISHA]

Teplorod в сообщении #312564 писал(а):

Появился: 23/04/10
Сообщения: 2
На сколько я знаю, из основного уравнения МКТ я смогу найти среднюю энергию частицы.

Там есть концентрация частиц (находим через объем и количество частиц), а давление находим через силу тяжести и площадь поршня.

[mihiv]

Мне кажется,что прямо применить уравнение МКТ не получится,т.к. во-первых движение шариков не хаотическое (как это принимается при выводе ур-ия МКТ ),а строго по вертикали и во-вторых существенно меняется их кинетическая энергия при движении от дна цилиндра до поршня.Пояснить можно так:если поднять поршень достаточно высоко,то шарики не будут до него долетать,хотя их энергия не равна 0.Поэтому нужно непосредственно посчитать среднюю силу ударов шариков о поршень.

[Ales]

Можно рассчитать импульс каждой частицы в момент отскока.
За время полета туда и обратно каждая частица отдает поршню два имульса.
В совокупности эти импульсы/время полета равны весу поршня.
Найдя импульс, можно вычислить высоту подскока.

-- Пн апр 26, 2010 13:42:56 --

У меня получился такой ответ: $\frac {hM^2} {N^2m^2+2NmM}$

[Teplorod]

Ales в сообщении #313541 писал(а):

Можно рассчитать импульс каждой частицы в момент отскока.
За время полета туда и обратно каждая частица отдает поршню два имульса.
В совокупности эти импульсы/время полета равны весу поршня.
Найдя импульс, можно вычислить высоту подскока.

-- Пн апр 26, 2010 13:42:56 --

У меня получился такой ответ: $\frac {hM^2} {N^2m^2+2NmM}$

Хорошо, предположим, что скорость частицы перед самим ударом (на высоте $h$) равна $v$, тогда импульс одной частицы равен $p=mv$. Т.к удар абсолютно упругий, то $\Delta p=2mv$, далее следует посчитать какое количество частиц ударяется за время $\Delta t$, для того, чтобы посчитать силу по второму закону Ньютона $F=\Delta P/ \Delta t$, где $\Delta P$ - суммарный импульс отданный теми частицы, которые столкнулись с поршнем за время $\Delta t$.
Мне не понятно как посчитать количество частиц ударяющихся о плиту за время $\Delta t$.
Ваш ответ, к сожалению, не верен. Правильный, написанный в книжке, $H=h \frac {(M+Nm)^2} {Nm(Nm+2M)}$

[Ales]

мой ответ - высота от крышки цилиндра, а в книге - высота от дна цилиндра:
$\frac {hM^2} {N^2m^2+2NmM}+h =h \frac {(M+Nm)^2} {Nm(Nm+2M)}$

-- Вт апр 27, 2010 15:43:14 --

Teplorod в сообщении #313844 писал(а):

Мне не понятно как посчитать количество частиц ударяющихся о плиту за время

Нужно посчитать сколько раз одна частица ударяет за это время и умножить на число частиц $N$.
Все частицы ведут себя одинаково.

-- Вт апр 27, 2010 15:45:06 --

Вам всего лишь надо найти время полета между отскоками.

[Teplorod]

Ales в сообщении #313869 писал(а):

мой ответ - высота от крышки цилиндра, а в книге - высота от дна цилиндра:
$\frac {hM^2} {N^2m^2+2NmM}+h =h \frac {(M+Nm)^2} {Nm(Nm+2M)}$

-- Вт апр 27, 2010 15:43:14 --

Teplorod в сообщении #313844 писал(а):

Мне не понятно как посчитать количество частиц ударяющихся о плиту за время

Нужно посчитать сколько раз одна частица ударяет за это время и умножить на число частиц $N$.
Все частицы ведут себя одинаково.

-- Вт апр 27, 2010 15:45:06 --

Вам всего лишь надо найти время полета между отскоками.

Да, спасибо. Все получилось.

[maxpower123]

От меня тоже спасибо!

[Omega]

А можно и так: пусть $N$ шариков массой $m$ ударяются об поршень со скоростью $v_{0}$ тогда $m N v_{0} =M v$. Пусть за время $t$ скорость поршня поменяет знак или: $t=\dfrac{2v}{g}$. Тогда, по идеи, за это же время шарик должен упасть и отскочить обратно, то есть: $h=v_{0} \Big (\dfrac{t}{2} \Big)+\dfrac{g}{2} \Big(\dfrac{t}{2} \Big)^{2} $. В итоге: $v_{0}={\dfrac {\sqrt {2hg}M}{\sqrt {m N}\sqrt {2\,M+mN}}}$. Далее ЗСЭ: $\dfrac{m v_{0}^{2}}{2}+m g h = m g H \Rightarrow $$H = \dfrac {h \Big(M+Nm \Big)^2} {Nm \Big (Nm+2M \Big)}$.