16 точек и равнобедренный треугольник

[Ktina]

На плоскости даны 16 точек (рисовать лень, поэтому словами скажу - центры 16 клеток доски 4 на 4).

Какое наибольшее число точек можно выбрать из этих шестнадцати таким образом, чтобы никакие три выбранные точки не являлись вершинами равнобедренного треугольника?

*В этой задаче вырожденный треугольник треугольником не считается.

[worm2]

С 6-ю точками как-то так:
○●●●
●○○○
●○○○
●○○○
Больше не получается. Вроде даже доказать могу, но, сами понимаете, рисовать все варианты мне тоже лень
Набросок: если точек больше 6, то либо на одной вертикали 4 точки (это легко опровергается), либо на одной 3 точки, на другой 2 (перебором вариантов показывается, что такого тоже не может быть), либо на 3-х вертикалях по 2 точки. В последнем случае можно показать, что между двумя такими вертикалями, отстоящими друг от друга на 2, точек быть вообще не может.

[Ktina]

worm2 в сообщении #591128 писал(а):

С 6-ю точками как-то так:
○●●●
●○○○
●○○○
●○○○
Больше не получается. Вроде даже доказать могу, но, сами понимаете, рисовать все варианты мне тоже лень
Набросок: если точек больше 6, то либо на одной вертикали 4 точки (это легко опровергается), либо на одной 3 точки, на другой 2 (перебором вариантов показывается, что такого тоже не может быть), либо на 3-х вертикалях по 2 точки. В последнем случае можно показать, что между двумя такими вертикалями, отстоящими друг от друга на 2, точек быть вообще не может.

У меня шесть точек по-другому получилось:
●●○○
○○○○
●○○●
○●○●
А доказать, что 7 нельзя, намного проще, чем Вам показалось.
Задача-то для 7-го класса.

[scwec]

Подсчет посещений не сломался? За сутки уже больше 16000.

[Ktina]

scwec в сообщении #591331 писал(а):

Подсчет посещений не сломался? За сутки уже больше 16000.

(Оффтоп)

Леншкола не дремлет.

[Коровьев]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #591331 писал(а):

Подсчет посещений не сломался? За сутки уже больше 16000.

Срипт на Яве занимает пару строк. Вопрос в том, если это накрутка, то кому она выгодна . Явно не Ktina

[Ktina]

Два доказательства невозможности выбора семи точек:

1. Шестнадцать исходных точек образуют 4 "квадратика" 2х2. В каждом квадратике можно выбрать не более двух точек. Если всего точек ровно 7, то в трёх из четырёх квадратиков выбрано ровно по две точки, а в оставшимся - ровно одна. Не ограничивая общности, можно считать, что в левом верхнем квадрате выбрана одна точка, а в остальных - по две. Далее следует не такой уж длинный тупой перебор.

2. Если все 7 выбранных точек лежат на "границе", то разбиваем границу на три множества:

$$\{a1, d1, a4, d4\}, \{b1, d2, a3, c4\}, \{c1, a2, d3, b4\}$$

Из каждого множества можно выбрать не более двух точек, а значит, всего не более шести.

Если одна из точек лежит "внутри" (в одной из клеток b2, c2, b3, c3 - без ограничения общности можно считать, что именно b2), разбиваем оставшиеся 15 клеток на 4 множества:

$$\{c2, b3, c3\}, \{b4, d2, d4\}, \{d1, d3, a4, c4\}, \{a1, a2, a3, b1, c1\}$$

Из каждого множества, кроме последнего, можно выбрать не более одной точки, а из последнего - не более двух.