Рациональные числа

[Asker Tasker]

Даны несколько задач, к которым пока не знаю, как подступиться.
Задача 1
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел отрезка $ 0 \leq x \leq 1 $ и множеством точек плоскости, обе координаты которых рациональны.
Идей пока нет

Задача 1 Б
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел отрезка [0; 1] и множеством всех точек с рациональными координатами квадрата $[0; 1] X [0; 1]$
То же ((

Задача 2
Постройте биекцию $ \mathbb{Z} \leftrightarrow \mathbb{Z}^{n} $
Joker_vD предложил (если быть точным, речь шла про $\mathbb{Z}^{3}$), если я правильно понял, начать с начала координат и рассматривать сферы с целочисленными радиусами, нумеруя точки с целочисленными координатами по мере их попадания в эти сферы.

Логику я понимаю так: начало координат - это первая сфера и первая точка. Любая невырожденная сфера задаётся уравнением $x^{2} + y^{2} + z^{2} = n^{2}$, где $n^{2}$ - натуральное число. Тройка целых чисел (х; у; z), удовлетворяющая этому уравнению соответствует одному из разложений числа $n^{2}$ на слагаемые, а таких разложений при фиксированном n конечное число. С другой стороны, счётное количество указанных сфер покрываёт всё пространство. Вывод: целочисленные точки можно занумеровать. Само множество целых чисел также счётно, его просто занумеровать. И тогда числа и точки с одинаковыми номерами поставим в соответствие друг другу.

Меня смущает только то, что не получается построить явную биекцию. Может, подскажете что-нибудь?

Задача 3
Нужно построить биекцию между прямой и плоскостью.
С помощью Joker_vD была построена биекция между открытым единичным квадратом и плоскостью: биетивный перевод интервала (0; 1) на каждой оси в интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, который тангенсом взаимно однозначно отображается на всю ось.
Таким образом достаточно доказать биекцию интервала (или отрезка) с открытым квадратом.
А поскольку указанный способ отображения квадрата на плоскость и для замкнутого квадрата будет работать, то можно и его взять. Вот только не знаю, как. Ведь, если просто смешать поочерёдно запись координат данной точки (чётные цифры берём из записи числа по оси Ох, нечётные - из записи числа по оси Оу), то возникнут проблемы с точками, допускающими двойное представление - подскажите, пожалуйста, как их обойти. Очень хочется именно явную биекцию построить.

А также интересно, как делать в общем n-мерном случае. Так же смешивать последовательности?

Заранее спасибо!

[ИСН]

Это всё довольно скучно на самом деле. Все счётные множества счётны одинаково. И все континуумы континуальны тоже одинаково. Трюк со смешиванием цифр есть во всех учебниках. А выразить в явном виде ничего нигде никогда нельзя, и хотеть этого не нужно.
Впрочем, вот Вам $(x,y)\to (x + y - 1) (x + y - 2)/2 + x$. Это, правда, всего лишь $\mathbb N^2\to\mathbb N$, ну да ведь от натуральных к целым перейти нетрудно, а?

[Asker Tasker]

Вот только учебников таких у меня нет. Посоветуете?

[ИСН]

Постойте, да разве не Вы тут уже изложили и сам этот трюк, и его проблему (числа с неоднозначной записью), и способы борьбы с ней?

[Asker Tasker]

*Попробовал изложить.
Только это не из учебника. Мне этот "трюк", скажем так, на пальцах объясняли. Мне хочется разобраться в теме как можно лучше, а читать первую попавшуюся в Гугле книжку как-то не хочется. Вот и спросил)

[Профессор Снэйп]

Я вот тоже не понимаю, зачем все эти биекции в явном виде искать. Кому они нужны?

[Asker Tasker]

Профессор Снэйп в сообщении #590580 писал(а):

Я вот тоже не понимаю, зачем все эти биекции в явном виде искать. Кому они нужны?

Вполне возможно, я неправильно понял задание. Мне казалось "установить взаимно однозначное соответствие" означает сделать это в явном виде.

[Профессор Снэйп]

Да я не на Вас больше ругаюсь, а на того, кто Вам все эти задания даёт. С Вас какой спрос, что задали, то и решаете?! А по сути Вы занимаетесь мартышкиным трудом. Сначала Вам показали выставку больших мощных экскаваторов, а потом дали лопату в руки и заставляют рыть котлован.