Сравнение по большому модулю

[ananova]

Для себя решил, что я прав на 100%. Однако, когда прав на 100%, сомнения усиливаются. Проверьте пожалуйста.

Даны взаимно простые целые числа $a, b, c$ , для которых выполняются условия:

$a < c$

$b < c$

Если выполняется сравнение $a^2 \equiv b$ ($\mod c^2)$, то единственным возможным решением в целых числах, удовлетворяющим данному сравнению являются целые числа со свойствами:

$a^2 = b; b < c$

Вывод: a и b - не взаимно простые числа, предварительное условие - не верно.

[EtCetera]

$a=-3$, $b=-7$, $c=4$...

[ananova]

EtCetera в сообщении #590479 писал(а):

$a=-3$, $b=-7$, $c=4$...

EtCetera, Благодарствую!

извиняюсь - не уточнил. Только положительные числа и 0.

[Алексей К.]

Странная, на мой взгляд формулировка:

ananova в сообщении #590474 писал(а):

Даны взаимно простые целые числа $a, b, c$ , для которых выполняются условия:
.....................................................................................
Вывод: a и b - не взаимно простые числа, предварительное условие - не верно.

По логичности тянет на общесоюзный референдум: в утверждение где-то заодно вписали обоснование.
Корректная формулировка, наверное, такая:

"Положительные целые числа $a, b, c$, обладающие такими-то свойствами (перечень св-в), не могут быть взаимно простыми."
(Конец вопроса, выдвинутого на референдум). На это, по крайней мере, можно ответить "согласен / не_согласен / не_знаю". Не сломав голову.

(Обоснование: "единственным возможным решением являются...")

-- 30 июн 2012, 08:52:54 --

Или "Положительных взаимно простых чисел, обладающих такими-то свойствами, не существует".

[ananova]

Алексей К.

В общем, Вы правы. Опыт в опросах какой-то есть, но иногда случаются неожиданные повороты, о которых не подозревал до старта опроса, поэтому жизнь и форумчане вносят свои коррективы.

С учетом, Вашей помощи, сформулировать опрос можно заново таким образом:

Справедливо ли утверждение:

Положительных взаимно простых чисел $a, b, c$, обладающих свойствами:

$a<b<c$,

$a^2 \equiv b$ ($\mod c^2$),

не существует.


Буду признателен, если администратор подкорректирует исходный опрос.

"согласен / не_согласен / не_знаю".

AKM:

Корректировать не буду: вряд ли "согласен / не_согласен" являются адекватными ответами на вопрос "Прав ли я?".
Да и голосования по подобного рода утверждениям не особо популярны на форуме. Полагаю, сойдёт и так.

[AnDe]

ananova
Вообще таких натуральных чисел a, b, c, что $(a;b)=1$, $a \leq c$, $1<b \leq c$ и $a \equiv_c b$ не существует. Ваше утверждение является частным случаем этого.

Доказательство: Два натуральных числа из отрезка $[1;c]$ сравнимы по модулю c тогда и только тогда, когда они равны. Наши числа по условию взаимно простые, и одно из них не равно единице, значит они не равны. Ч.Т.Д.

[AKM]

AnDe в сообщении #590551 писал(а):

$a \equiv_c b$

У автора, однако, $a \equiv_{c^2} b$.

[AnDe]

AKM
У автора вообще $a^2 \equiv_{c^2} b $
Мы принимаем $a_1=a^2$, $b_1=b$, $c_1=c^2$ и пользуемся тем утверждением, что я написал для тройки $a_1, b_1, c_1$.

[ananova]

AnDe
Вот так просто и понятно - я не могу, к сожалению, поэтому благодарствую за Ваше доказательство. Ещё мне понравился Ваш современный лаконичный способ записи сравнений и НОД.. Правда я до этого встречал другую запись $(a,b)=1$. Но, видимо, прогресс уже убежал вперед и НОД надо указывать через двоеточие.

[AnDe]

ananova
Я написал точку с запятой от балды Тут скорее я напутал, но вроде это не сильно важно, а сравнения так действительно удобнее записывать.

[ananova]

AnDe

Буду теперь знать эти хитрости.

Мне было важно классическим путем получить доказательство и подтверждение этого факта, т.к. это, можно сказать, ключевая часть доказательства ВТФ, которое я хочу скоро представить на обсуждение на форуме.

В двух словах и не открывая все детали. Допустим уравнение имеет математическое ограничение - число $a$ должно быть взаимно простым с числом $b$. Иначе - у уравнения нет решений. Таких ограничений в ВТФ десятки, но абсолютно случайно "заинтересовало" только одно из них, связанное с доказательством взаимной просты. Есть простая формула получения числа $c$, подходящая для доказательства. Вся фишка в этой формуле. А так как в конечном поле $Z(c^2)$ переменные "жестко" связаны сравнением: $a^2 \equiv_{c^2} b$, при этом, $a<b<c$, то получаем то, что необходимо.

Поэтому, в общем, вариант решения с отрицательными числами, предложенный EtCetera, не подошел.

[AnDe]

ananova в сообщении #590632 писал(а):

Мне было важно классическим путем получить доказательство и подтверждение этого факта, т.к. это, можно сказать, ключевая часть доказательства ВТФ, которое я хочу скоро представить на обсуждение на форуме.

О боже. Давайте, до свидания!

[AKM]

[ananova]

AnDe
AKM
Хорошо, что Вы всегда по близости

[AKM]

"Поблизости" пишется слитно. Как и слова "рядом", "недалеко" и проч.
(Не путать с "и прочь!")