Законы сохранения и дискретность пространства-времени

[Lucis]

Сравнивая неархимедову и неевклидову геометрии, Б.Г. Кузнецов утверждал, что "Неархимедова геометрия останется чисто априорной геометрической схемой без физической интерпретации, аналогичной той интерпретации, которую получила неэвклидова геометрия в общей теории относительности" ("Этюды об Эйнштейне", стр. 145-146). Кроме того, М. Кройц писал: "Введение решетки представляет собой математический прием. Он обеспечивает обрезание ультрафиолетовых расходимостей, являющихся бнчем квантовой теории поля. Как и любая регуляризация, решеточное обрезание должно быть устранено после перенормировки. Физические результаты могут быть получены только в непрерывном пределе, когда шаг решетки стремится к нулю" ("Кварки, глюоны и решетки", стр. 13).

Из этих слов можно было бы заключить, что идея дискретности пространства-времени - всего лишь математический фокус, сродни пятому измерению Калуцы, которое он сам же и зачеркнул условием цилиндричности. Однако, в теме "Возможно ли дискретное однородное пространство-время" Munin говорил, что

Цитата:

идея дискретного пространства-времени <...> не отвергнута - лежит в запасниках теорфизики до лучших времён

Однако можно показать, что дискретность пространства-времени неизбежно приводит и к дискретности движения.
Так, в кн. "Дискретное пространство-время" А.Н. Вяльцев писал, что "если дискретно пространство, или время, или движение, то дискретны и два других члена этой триады" (стр. 17), и что дискретное движение можно охарактеризовать как "ряд последовательных рождений и исчезновений частицы" (стр. 47). Об этом же писал и Б.Г. Кузнецов в книге "Этюды об Эйнштейне": "как может частица оказаться в иной пространственно-временной клетке, если в пространственно-временных клетках нельзя представить себе движения, если эти клетки являются минимальными, неделимыми на меньшие пространственно-временные интервалы <...> Естественной представляется мысль об аннигиляции частицы данного типа и ее регенерации в соседней пространственно-временной клетке" (стр. 315-316). Наконец, об этом писал и Д.И. Блохинцев в книге "Пространство и время в микромире": "Обычный закон сохранения энергии - импульса в рассматриваемой схеме не имеет места <...> это нарушение можно интерпретировать как поглощение или излучение "квазичастиц"" (стр. 281).

Таким образом, с одной стороны, идея дискретного пространства-времени не отвергнута; с другой стороны, из дискретности пространства-времени следует дискретность и движения, каковая, согласно приведенным цитатам, вступает в конфликт с законами сохранения, для сомнения в справедливости которых оснований не имеется, - что, в свою очередь, заставляет усомниться и в том, что дискретность пространства-времени и движения действительно противоречит законам сохранения.

Поскольку в случае гипотезы В. Амбарцумяна и Д. Иваненко о целочисленных значениях координат и о разделении пространства-времени на минимальные объемы дифференциальные уравнения заменяются на уравнения в конечных размерах, то можно предположить, что в простейшем случае дискретного пространства-времени с постоянной величиной минимальной длины (шага решетки) законы сохранения (в том числе и закон сохранения энергии-импульса) были бы справедливы после замены всех обыкновенных производных производными разностными (поскольку в этом случае события, протекающие за время, меньшее минимального, автоматически исключаются из рассмотрения).

Однако лично для меня наиболее интересным представляется случай дискретного пространства-времени с переменной величиной минимальной длины, о котором Munin говорил в теме "Дискретное пространство и время", поскольку в этом случае пространство-время и движение могли бы быть в частном случае и непрерывными. Но как же в этом случае мог бы быть записан, например, закон сохранения энергии-импульса?

(Оффтоп)

Так, означает ли изменчивость минимальной длины наличие некоего нового геометрического свойства пространства-времени, отсутствующего в римановой геометрии, так что поставленный вопрос требует обобщения понятия ковариантной производной?

Если вспомнить, что бесконечно малый вектор вполне определен разностями координат двух бесконечно близких точек, что в случае дискретности пространства-времени минимальные разности координат двух максимально возможно точек в пространстве будут равны уже не ${dx}_n$, но $a$, и что величина бесконечно малого вектора - расстояние между двумя максимально близкими точками - изменяется в геометрии Вейля, то можно предположить, что изменчивость минимальных длин является присущей именно масштабно инвариантной геометрии Вейля. Тогда закон сохранения энергии-импульса (не только обще-, но и конформно ковариантный) мог бы быть записан как $T_{ik;k} + {{\lambda}_k}{T_{ik}} = 0$, где $T_{ik;k}$ - ковариантная производная тензора энергии-импульса.

Или же в случае дискретного пространства-времени с переменной величиной минимальной длины достаточно будет просто заменить дифференциалы координат - не элементарными интервалами (как в случае постоянной минимальной длины), но некоторыми переменными - которые, в простом случае кубической гиперрешетки, будут равны тем же дифференциалам, умноженным на одну и ту же произвольную функцию?

[мат-ламер]

Lucis
На Ваш вопрос о законах сохранения я не отвечу (поскольку его не понял), но смотрите в Википедии статью "Петлевая квантовая гравитация". Однако вроде тут плохи дела с экспериментальным обоснованием теории. Наблюдения показывают, что скорость света не зависит от его частоты (а должна зависеть в этой теории). Какой-то спутник чего-там наблюдает и измеряет, но пока доказательств нет.

[Munin]

Lucis в сообщении #590084 писал(а):

Так, в кн. "Дискретное пространство-время" А.Н. Вяльцев писал, что "если дискретно пространство, или время, или движение, то дискретны и два других члена этой триады" (стр. 17), и что дискретное движение можно охарактеризовать как "ряд последовательных рождений и исчезновений частицы" (стр. 47).

Ну так это и непрерывное движение можно так представить. Не надо этого бояться.

Причём, ещё довольно важно отвлечься от движения как движения точки, и понять, что в микромире единственный способ движения - движение волны.

Lucis в сообщении #590084 писал(а):

дискретность и движения, каковая, согласно приведенным цитатам, вступает в конфликт с законами сохранения

Не увидел, как вступает. И потом, вот у вас дискретное время, оно существует только в отдельные моменты $t_n.$ Это значит, что закон сохранения, например, энергии, вам придётся формулировать так, что энергия, измеренная в конкретные моменты $t_n,$ сохраняется, а в другие - нет. Это, конечно, "вступает в конфликт" с обычной формулировкой, что энергия всегда одна и та же, ну и что ж? Жалко, что ли?

[Lucis]

Munin в сообщении #590110 писал(а):

Lucis в сообщении #590084 писал(а):

дискретность и движения, каковая, согласно приведенным цитатам, вступает в конфликт с законами сохранения

Не увидел, как вступает.

Munin в сообщении #590110 писал(а):

закон сохранения, например, энергии, вам придётся формулировать так, что энергия, измеренная в конкретные моменты $t_n,$ сохраняется, а в другие - нет. Это, конечно, "вступает в конфликт" с обычной формулировкой

Я и имел в виду (извиняюсь, если сформулировал мой вопрос недостаточно точно), что дискретность пространства-времени вступает в конфликт с законами сохранения именно в их обычной, т.е. дифференциальной формулировке, тогда как в случае разностной формулировки - уже не вступает... Просто меня очень заинтересовал этот возможный случай дискретного пространства-времени с переменным шагом решетки - в какой же теперь формулировке законы сохранения не вступят в конфликт с дискретностью, и как связана (и связана ли вообще?) эта изменчивость минимальной длины с масштабно инвариантной геометрией Вейля.

[Munin]

Я думаю вот что. Представьте себе граф. По рёбрам этого графа могут течь какие-то количества чего-то. Тогда закон сохранения этих количеств - просто первый закон Кирхгофа.