границы частости появления события

[Ирина1]

Добрый день! Задача: из 5000 произведенных испытаний в 2000 вероятность появления события А равна 0,2; в 1400 - 0,5; 1600 - 0,6. Найти границы, в которых должна находиться частость появления события А, если это необходимо гарантировать с вероятностью 0,95.

Я никак не соображу, на какую тему задача. Может, сначала нужно воспользоваться формулой полной вероятности, а потом что-нибудь из закона больших чисел? Хотя бы намекните. Может это вообще статистика - доверительные интервалы какие-нибудь?

[--mS--]

Задача либо на ЦПТ, либо на неравенство Чебышёва. Если на ЦПТ, то не на одну, а на три ЦПТ - в применении к каждой серии испытаний отдельно. У каждой серии испытаний распределение числа успехов приближённо нормальное со своими параметрами. У суммарного числа успехов - тоже, со своими параметрами, которые следует найти. Если на неравенство Чебышёва, то проще.

[Ирина1]

Спасибо. В неравенстве Чебышева для относительной частоты событие должно происходить с одной и той же вероятностью р. А тут три разных(( Вот я думала полную вероятность посчитать.

[--mS--]

Неравенство Чебышёва справедливо для произвольной случайной величины с конечной дисперсией. Хоть для частоты, хоть для суммы трёх частот, хоть для чего.

[Ирина1]

С неравенством Чебышева тоже для трех случайных величин считать? Ну хоть малюсенькую подсказочку дайте? Как туда частость приспособить?

[Евгений Машеров]

Считайте по формуле полной вероятности. Далее биномиально.

[Ирина1]

Спасибо Вам, Евгений! Все понятно

[--mS--]

При чём тут формула полной вероятности? Три разных схемы Бернулли не дадут схему Бернулли, даже если вычислить "усреднённую вероятность успеха".

[Евгений Машеров]

А где Вы тут видите "три разных схемы Бернулли"?
Есть событие А, проявляющееся с не заданной явно вероятностью P, и есть вероятностный механизм, параметры которого известны, и можно вычислить вероятность P.

[--mS--]

См. условие: есть 2000 испытаний одной схемы Бернулли - с одной вероятностью успеха, потом 1400 - с другой и ещё сколько-то - с третьей.

[Евгений Машеров]

А Вы рассматривайте, как рандомизированное испытание.

[--mS--]

Да не буду я ничего рассматривать - очевидно, что у предельного нормального распределения дисперсия будет совсем иная, чем в исходной постановке. Ровно потому, что если $n=n_1+n_2+n_3$, $p=\frac{n_1}{n}p_1+\frac{n_2}{n}p_2+\frac{n_3}{n}p_3$, то $\mathsf E(S_{n_1}+S_{n_2}+S_{n_3})=np$, а вот $\mathsf D(S_{n_1}+S_{n_2}+S_{n_3})=n_1p_1(1-p_1)+n_2p_2(1-p_2)+n_3p_3(1-p_3)\neq np(1-p)$. Ваше предложение хорошо только в одном случае - когда речь идёт о пуассоновской аппроксимации, т.е. вероятности успехов столь малы, что работает теорема Пуассона. Тогда что матожидание, что дисперсия порядка $np$, и можно вместо трёх схем Бернулли рассматривать одну с "усреднённой" вероятностью успеха.

[Евгений Машеров]

Как то Вы интересно дисперсию считаете...

[--mS--]

Неужто тут есть варианты? Дисперсия суммы независимых величин есть сумма дисперсий, дисперсия каждой (биномиальной) величины есть число испытаний умножить на вероятность успеха и на вероятность неудачи.

[AlexValk]

При таких больших числах испытаний $n_1=2000$, $n_2=1400$, $n_3=1600$ и вероятностях $p_1=0.2$, $p_2=0.5$, $p_3=0.6$ не являющихся очень малыми или очень близкими к 1, каждое из трех распределений Бернулли очень очень близко к нормальному распределением с соответствующими параметрами $a_i=n_ip_i$, $\sigma_i^2=n_ip_i(1-p_i)$. В этом смысле эта задача на ЦПТ, или в более узком смысле - на локальную теорему Муавра-Лапласа.
Далее: сумма независимых нормальных величин - нормальная величина с параметрами $a=a_1+a_2+a_3$ (матожидание) и \sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2=1054$ (дисперсия).
В результате имеем стандартную учебную задачу на нахождение интервала, в который нормальная случайная величина c известными параметрами $a$ и $\sigma$ попадает c известной вероятностью $\gamma$. Предполагая симметричный относительно $a$ интервал - что не сказано в исходном условии, но вероятно подразумевается (иначе ответ не однозначен), получаем для количества успехов $m\in [a-\Delta;a+\Delta]$, где $\Delta$ удовлетворяет уравнению $\gamma=2\Phi\left(\Delta/\sigma\right)$ ($\Phi(x)$ - интеграл вероятностей). Решение уравнения имеет вид $\Delta/\sigma=t_\gamma$, где $t_\gamm$ находим "из таблицы", и окончательно $m\in [a-t_\gamma\sigma;a+t_\gamma\sigma]$. Поделив на $n=n_1+n_2+n_3=5000$ получим в нашем случае ($a=2060$, $\sigma=\sqrt{1054}, $t_\gamma=t_{0.95}\approx 1.96$) интервал для частости: $m/n\in [0.399;0.425]$

AlexValk,

предупреждение за публикацию полного решения учебной задачи. Правила этого раздела