Полунепрерывные функции.

[samson4747]

Вопрос:

Чего-то до меня не доходит, почему верхняя огибающая семейства непрерывных на $\mathcal Y$ (метрическом пространтсве) функций, всегда будет полунепрерывной снизу на $\mathcal Y$.

Известно:

• Верхняя огибающая конечного набора полунепрерывных сверху функций, полунепрерывна сверху.
• Нижняя огибающая конечного набора полунепрерывных сверху функций, полунепрерывна снизу.
• (доказал)У бесконечного набора полунепрерывных сверху в точке $x_\circ$ функций, конечная верхняя огибающая, не всегда является полунепрерывной сверху в точке $x_\circ$.

[AGu]

Подсказочка:
(1) Если $f$ -- поточечный супремум $f_i$ $(i\in I)$, то $\{y\in\mathcal Y:f(y)\leqslant t\}=\bigcap_{i\in I}\{y\in\mathcal Y:f_i(y)\leqslant t\}$ для любого $-\infty\leqslant t\leqslant+\infty$.
(2) Пересечение семейства замкнутых множеств замкнуто.

[samson4747]

Согласен, но куда думать не понял.

[AGu]

(3) Вспомнить, что дополнение замкнутого множества открыто.
(4) Вспомнить определение полунепрерывности снизу.

[samson4747]

Функция полунепрерывна снизу в точке $x_0$, можно сослаться на критерий(полунепрерывности снизу в точке) и сказать $\varliminf\limits_{x\to x_0}\,f(x)\geqslant f(x_0)$.

[AGu]

samson4747 в сообщении #590247 писал(а):

можно сослаться на критерий

А если по определению?

[samson4747]

Либо, чётко следовать определению:
Функция $f:\mathcal Y\to(-\infty;\,+\infty)$, называется полунепрерывной снизу в точке $x_0\in\mathcal Y$, если для каждого $A:\ f(x_0)>A$ найдётся $\delta>0$, при котором

$$f(x)>A\,\text{для всех}\,x\in\mathcal Y\cap U_{\displaystyle{x_0}}(\delta).$$

[AGu]

Вот, так лучше.

(5) Вспомнить определение открытого множества.
(6) Переформулировать определение полунепрерывности снизу в терминах открытых множеств.

[samson4747]

AGu в сообщении #589972 писал(а):

Подсказочка:
(1) Если $f$ -- поточечный супремум $f_i$ $(i\in I)$, то $\{y\in\mathcal Y:f(y)\leqslant t\}=\bigcap_{i\in I}\{y\in\mathcal Y:f_i(y)\leqslant t\}$ для любого $-\infty\leqslant t\leqslant+\infty$.
(2) Пересечение семейства замкнутых множеств замкнуто.

Согласен, но что то начались сомнения насчёт

Цитата:

для любого $-\infty\leqslant t\leqslant+\infty$.

[AGu]

samson4747 в сообщении #590252 писал(а):

что то начались сомнения насчёт

Цитата:

для любого $-\infty\leqslant t\leqslant+\infty$.

Верхняя огибающая в общем случае может кое-где быть бесконечной. Поэтому я и использовал там нестрогие неравенства. Если известно, что верхняя огибающая всюду конечна, то можно взять строгие.

[samson4747]

(5) Открытое множества- грубо говоря у него все точки внутренние.
(6) Определение полунепрерывности снизу в терминах открытых множеств: для любого $a\in\mathbb R$ множество $\left\{x\in\mathcal Y:\,f(x)\geqslant a\right\}$ открыто в топологии, индуцированной в $\mathcal Y$ из $\mathbb R^n$.

-- 29.06.2012, 11:41 --

AGu в сообщении #590253 писал(а):

samson4747 в сообщении #590252 писал(а):

что то начались сомнения насчёт

Цитата:

для любого $-\infty\leqslant t\leqslant+\infty$.

Верхняя огибающая в общем случае может кое-где быть бесконечной. Поэтому я и использовал там нестрогие неравенства. Если известно, что верхняя огибающая всюду конечна, то можно взять строгие.

Это то да, но получается вроде $t\in(-\infty;\,+\infty]$.

-- 29.06.2012, 11:45 --

$\{y\in\mathcal Y:f_i(y)\leqslant t\}$, где ${i\in I}$, замкнуты в силу того, что мы их можем поместь в некий открытый шар? Верно понял?

[AGu]

samson4747 в сообщении #590254 писал(а):

замкнуты в силу того, что мы их можем поместь в некий открытый шар? Верно понял?

Боюсь, при таком, мягко говоря, слабом знании предмета мои подсказки не помогут.
Пусть кто-нибудь другой попробует...

[samson4747]

AGu в сообщении #590270 писал(а):

samson4747 в сообщении #590254 писал(а):

замкнуты в силу того, что мы их можем поместь в некий открытый шар? Верно понял?

Боюсь, при таком, мягко говоря, слабом знании предмета мои подсказки не помогут.
Пусть кто-нибудь другой попробует...

Прошу прощения, просто параллено с ограниченными множествами работаю, вот и пишу бред.

С задачей полунепрерывности разобрался, вот только не уяснилось почему $t=-\infty$ тоже можем включить.

[AGu]

samson4747 в сообщении #590274 писал(а):

вот только не уяснилось почему $t=-\infty$ тоже можем включить.

В Вашем случае при $t=-\infty$ упомянутые множества пустые, так что равенство очевидно выполняется. Это мелочь.

[samson4747]

Разобрался.
P.S.: Прошу прощение за свою некорректность и невнимательность в определении замкнутого множества.

$$\color{magenta}\boxed{\textbf{\color{blue}AGu, благодарю Вас за помощь}}$$