инвариантные подпространства

[Oleg Zubelevich]

Попробовал придумать пример линейного пространства $X,\quad \dim X=\infty$ над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ и линейного оператора $A:X\to X$ который не имел бы нетривиальных инвариантных подпространств. Не смог. Это что сложно или меня переклинило?. Там вроде лимма Цорна нужна.

[g______d]

http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_subspace_problem

[Oleg Zubelevich]

Ну я википедию и без Вас читать умею. Вопрос остался.

[g______d]

Ну так в чем проблема взять пример оттуда?

Или вопрос в том, можно ли придумать чисто алгебраический пример и не будет ли это проще?

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #589336 писал(а):

Или вопрос в том, можно ли придумать чисто алгебраический пример и не будет ли это проще?

вот именно

[ewert]

А что значит "чисто алгебраический"?

Например, очевидны примеры операторов, не имеющих ни одного конечномерного инвариантного подпространства. Что вовсе не мешает им иметь инвариантные подпространства бесконечной размерности.

[lyuk]

Такого примера нет.

Пусть ${\rm dim}X>\aleph_0$. Тогда для любого $x_0\ne 0$ подпространство ${\rm span}\{x_0, A(x_0), A^2(x_0), \dots\}$ -- нетривиальное, инвариантрое.

Осталось рассмотреть случай ${\rm dim}X=\aleph_0$. Предположим, что такой оператор $A$ существует. Тогда для любого $x_0\ne 0$ множество $\{x_0, A(x_0), A^2(x_0), \dots\}$ -- базис Гамеля в $X$. Тогда множество $\{A(x_0), A^2(x_0), \dots\}$ тоже базис Гамеля в $X$ -- противоречие.

[g______d]

ewert в сообщении #589385 писал(а):

А что значит "чисто алгебраический"?

В том смысле, что операторы не предполагаются непрерывными, а подпространства --- замкнутыми. И вообще на $X$ не вводится никакой топологии.

Если я правильно понял исходный вопрос, то lyuk на него ответил.

[ewert]

По ссылкам речь идёт о банаховых пространствах. А тогда достаточно взять (для отсутствия конечномерных инвариантных подпространств) любой нильпотентный оператор с тривиальным ядром, в бесконечномерном случае последние, ясное дело, бывают.

[Oleg Zubelevich]

lyuk
Да, вопрос оказался тривиальным. Спасибо.

[g______d]

ewert в сообщении #589423 писал(а):

По ссылкам речь идёт о банаховых пространствах. А тогда достаточно взять (для отсутствия конечномерных инвариантных подпространств) любой нильпотентный оператор с тривиальным ядром, в бесконечномерном случае последние, ясное дело, бывают.

Ну это да. Собственно, о конечномерности нигде не было сказано, я имел в виду подпространства любой размерности, не обязательно замкнутые.

Про отсутствие конечномерных можно еще по-другому --- если есть конечномерное инвариантное подпространство, то есть и ненулевой собственный вектор. Ясное дело, что бывают операторы без таковых --- например, даже в гильбертовом пространстве подходит любой оператор с чисто непрерывным спектром.