Сферы и окружности

[Asker Tasker]

Пожалуйста, проверьте следующие решения.

Задача 1
Заданы две окружности. Построить биекцию между множествами их точек.
Пусть Окр1 и Окр2 - две данные окружности. Задать окружность означает указать её центр (три числа, если решаем задачу в пространстве) и радиус (одно положительное число). Если эта парочка $\{ О(x_{0}; y_{0}; z_{0}; R) \}$ задана, то:
1. любые три точки однозначно задают некоторую плоскость, на любой окружности явно больше чем три точки, поэтому она однозначно задаёт плоскость (в которой, собственно, и расположена);
2. предположим, для большей общности, что заданные окружности расположены в разных плоскостях; на каждой из этих плоскостей введём прямоугольную систему координат: $x_{1}O_{1}y_{1}$ и $x_{2}O_{2}y_{2}$
3. пусть М - данная точка данной окружности (теперь рассматриваем на плоскости) с центром в точке $O_{i}$, радиуса $R_{i}$. Тогда этой точке соответствует вектор $O_{i}M$, образующий некоторый угол $\alpha $с положительным направлением оси $O_{i}x $. Если ввести следующие ограничения: $0 \leq \alpha < 2\pi $, то это соответствие будет однозначным и даже взаимнооднозначным (каждой точке окружности соответствует угол из указанного промежутка, а каждому углу - точка окружности)
4. нами построены следующие две биекции, композиция которых - искомая биекция:
$ \{ точки окружности Окр1\} \leftrightarrow \left[ 0; 2\pi \right) \leftrightarrow \{ точки окружности Окр2\} $

Задача 2
Из множества точек заданной окружности изъята некоторая точка М. Построить биекцию между множествами точек исходной и "уменьшенной" окружностей.
Построим биекцию по задаче 1:
{ точки заданной окружности } $ \leftrightarrow \left[ 0; 2\pi \right)$
$x_{\varphi} \leftrightarrow \varphi_{x}$
Введём в рассмотрение новое множество $A = \{ \frac{1}{n} \}_{n=1}^{\infty} \equiv \{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty}$
Каждой точке множества $A$ соответствует некоторая точка окружности окружности. Если так получится, что величина угла, соответствующего точке М, содержится во множестве А, т.е. $\exists k \in \mathbb{N} : a_{k}=\varphi_{M}$, то рассмотрим множество $A^{\'}$, получаемое из множества А по правилу: $a^{\'}_{n} = a_{n+1}$. Предположим, что $\varphi_{M} \notin A$, тогда построим следующую биекцию:
1) если $ \varphi_{x} \notin A$, то $x \leftrightarrow x$;
2) иначе $ x_{\frac{1}{n}} \leftrightarrow x_{a_{n}} $

Задача 3
Из сферы выколота точка. Построить биекцию между множеством точек "проколотой сферы" и плоскостью.
Пусть М - данная выколотая точка, а N - точка "на противоположном конце" диаметра. Пусть также АВС - некоторая плоскость, касающаяся данной сферы в точке N. Через каждую точку сферы и точку М проведём прямую. Две точки однозначно задают проходящую через них прямую, и эта прямая пересечёт плоскость АВС, ведь прямая, параллельная данной плоскости обладает тем свойством, что все её точки равноудалены от данной плоскости; поэтому, если бы хоть одна из построенных по указанному правилу прямых MX была параллельна АВС, то точка Х была бы "на одном уровне" с точкой М, что (если нарисовать картинку) противоречит взаиморасположению "проколотой сферы" и плоскости АВС (MN - диаметр, наибольшее из возможных расстояний между точками сферы и оно же - расстояние от точки М до плоскости АВС). Итак, любая точка Х однозначно задаёт прямую МХ, следовательно, однозначно задаёт точку пересечения этой прямой с плоскостью АВС. С другой стороны, любая прямая YM (где Y - точка плоскости АВС) может пересечь "проколотую сферы" не более чем в одной точке - правда, я не знаю, как это доказать, поэтому соответствие взаимно однозначно.

Задача 4
Построить биекцию между точками плоскости и точками сферы.
Построим биекцию между сферой и "проколотой сферой" из задачи 3. Пусть в "проколотой сфере" выколота точка М. Это точка принадлежит какой-то "проколотой окружности", лежащей на сфере. Назовём её Окр1. А "полную" окружность, содержащую точку М, назовём Окр2. Биекцию построим так:
1) если точка принадлежит "проколотой сфере" и не лежит на Окр1, то переведём её саму в себя;
2) если точка принадлежит Окр1, то между Окр1 и Окр2 построим биекцию так, как это было сделано в задаче 2.
3) построим между "проколотой сферой" и плоскостью биекцию, как в задаче 3.
Композиция этих двух биекций - искомая.

[AKM]

Asker Tasker,

красный цвет зарезервирован для модераторов. См. Правила форума.

 $A^{\'}$ пишется просто как $A'$, $a'_n$

$A^{\'}$ пишется просто как $A'$, $a'_n$. Если Вы это имели в виду.

[Munin]

Asker Tasker в сообщении #589115 писал(а):

Задать окружность означает указать её центр (три числа, если решаем задачу в пространстве) и радиус (одно положительное число).

Если решаем задачу в пространстве, то задать окружность означает задать не только её центр и радиус, но и плоскость (ориентацию плоскости). Это ещё два числа, как минимум :-) Впрочем, на решение это влияния не оказывает. Формулировка задания более естественно читается как подразумевающая окружности на плоскости, а не в пространстве.

В задаче 2 намудрили, и в итоге не доделали. Идея понятна и правильна, но её использование - нет.

В задаче 3 - а в скольких точках вообще прямая может пересечь непроколотую сферу?

В задаче 4 даже подход не угадан верно. Выколотая точка сферы M не соответствует никакой точке никакой окружности на плоскости. Она соответствует "бесконечно удалённой точке", которая плоскости не принадлежит.

[Asker Tasker]

AKM в сообщении #589171 писал(а):

$A^{\'}$ пишется просто как $A'$, $a'_n$. Если Вы это имели в виду.

Я хотел просто А со штрихом, но Tex на просто штрих жаловался. Видимо, я где-то напортачил при наборе

Munin в сообщении #589199 писал(а):

Если решаем задачу в пространстве, то задать окружность означает задать не только её центр и радиус, но и плоскость (ориентацию плоскости). Это ещё два числа, как минимум Впрочем, на решение это влияния не оказывает. Формулировка задания более естественно читается как подразумевающая окружности на плоскости, а не в пространстве.

Плоскость, кажется, тремя точками задаётся, по одной из аксиом геометрии? Вы имеете в виду, что добавляем ещё две точки окружности - и они вместе с центром зададут плоскость?

Munin в сообщении #589199 писал(а):

В задаче 2 намудрили, и в итоге не доделали. Идея понятна и правильна, но её использование - нет.

Подскажите, пожалуйста: что именно не доделано? На всякий случай повторю рассуждения - может, у меня на этот раз чуть аккуратнее получится..
Рассматриваем окружности на плоскостях - каждую на своей. Каждой точке данной окружности ставим в соответствие угол (было описано, как это делается). Получаем взаимно однозначное соответствие:
{точки окружности} $\leftrightarrow [0; 2\pi )$
Множество точек исходной окружности обозначим Окр1. Выколем точку М - получим множество Окр2. По выше сказанному, построено две биекции:
Окр1 $\leftrightarrow [0; 2\pi )$
Окр2 $\leftrightarrow [0; 2\pi ) \backslash \varphi_{M}$, где $\varphi_{M}$ - угол, соответствующий точке М.
Всё, что остаётся - построить биекцию между этими двумя промежутками: $[0; 2\pi ) \leftrightarrow [0; 2\pi )$, тогда получим:
Окр1 $ \leftrightarrow [0; 2\pi ) \leftrightarrow [0; 2\pi ) \backslash \varphi_{M} \leftrightarrow $ Окр2.
Ведь тогда будет построена и искомая биекция: Окр1 $ \leftrightarrow $ Окр2.

Munin в сообщении #589199 писал(а):

В задаче 3 - а в скольких точках вообще прямая может пересечь непроколотую сферу?

В двух :) Глупый, конечно, вопрос, но как это геометрически доказывается?

Munin в сообщении #589199 писал(а):

В задаче 4 даже подход не угадан верно. Выколотая точка сферы M не соответствует никакой точке никакой окружности на плоскости. Она соответствует "бесконечно удалённой точке", которая плоскости не принадлежит.

Абсолютно с Вами согласен: не принадлежит. А нам нужно построить биекцию между всеми точками сферы и точками плоскости. Раньше мы построили биекцию между "проколотой сферой" (которая отличается от "полной" отсутствием всего одной точки) и плоскостью, то есть: Множество точек "полной сферы" $ \leftrightarrow $ Множество точек "проколотой сферы" $ \leftrightarrow $ Множество точек плоскости
Что именно неправильно в этом подходе? Как бы Вы предложили это утверждение доказывать?

Я предлагаю так. Пусть в "проколотой сфере" S1 выколота точка М. Зафиксируем любую окружность Окр2 на "полной сфере" S2, которая проходит через точку М, то есть $S2 = S1 \bigcup \{M\}$ и Окр2 $=$ Окр1$\bigcup \{M\}$. Окружности (Окр2) соответствует проколотая окружность Окр1, расположенная на сфере S1. Между Окр2 и Окр1 можно построить биекцию, как в задаче 2. А остальные точки cфер S1 и S2 просто переведём сами в себя. Получим биекцию между "полной" и "проколотой" сферами, а биекция между "проколотой сферой" и плоскостью построена в задаче 3. В чём именно ошибка?

-- 26.06.2012, 18:11 --

Munin в сообщении #589199 писал(а):

В задаче 4 даже подход не угадан верно. Выколотая точка сферы M не соответствует никакой точке никакой окружности на плоскости.

Я нигде словосочетания "окружности на плоскости" в задаче 4 не использовал

[мат-ламер]

Третья задача очевидна - сфера Римана из курса ТФКП. Во второй и четвёртой задаче можно применить тот же подход, что и в http://dxdy.ru/post589409.html#p589409.

[Asker Tasker]

Вообще в задачах не предполагалось знание ТФКП, поэтому я попробовал эту биекцию поподробнее расписать, насколько понял.

[Munin]

Asker Tasker в сообщении #589366 писал(а):

Я нигде словосочетания "окружности на плоскости" в задаче 4 не использовал

Да, mea culpa, меня фраза "из задачи 3" сбила с толку.

[Asker Tasker]

Кажется, тему можно закрывать. Всем откликнувшимся огромное спасибо!

[Munin]

Asker Tasker в сообщении #589366 писал(а):

Плоскость, кажется, тремя точками задаётся, по одной из аксиом геометрии? Вы имеете в виду, что добавляем ещё две точки окружности - и они вместе с центром зададут плоскость?

Плоскость можно задать точкой и направлением нормали. Направление - это два числа (например, широта и долгота). Каждая точка - это три числа.

Asker Tasker в сообщении #589366 писал(а):

Всё, что остаётся - построить биекцию между этими двумя промежутками

Да, только для этого можно меньше мудрствовать лукаво, чем вы начали.

Для начала, я бы специально взял координатизацию второй окружности так, чтобы выколотая точка попадала не на какой-то не пойми какой $\varphi_M,$ а на заранее заданное число, например, на 0 или 1. А дальше заготовленную вами конструкцию было бы удобнее применять.

Asker Tasker в сообщении #589366 писал(а):

В двух :) Глупый, конечно, вопрос, но как это геометрически доказывается?

Меня такие вопросы выбивают из колеи, я судорожно пытаюсь вспомнить, а что можно использовать? Ну, глупое предложение: давайте проведём плоскость через прямую и центр сферы.

С учётом ваших объяснений, задача 4 решена, я просто решения не понял. Извиняюсь сильно.

[Asker Tasker]

Munin в сообщении #589453 писал(а):

Для начала, я бы специально взял координатизацию второй окружности так, чтобы выколотая точка попадала не на какой-то не пойми какой $\varphi_M,$ а на заранее заданное число, например, на 0 или 1. А дальше заготовленную вами конструкцию было бы удобнее применять.

У меня была мысль так сделать, но потом как-то отпала. Если, вводя систему координат, ось Ох ввести проходящей через точку М, то этой точке будет соответствовать нулевой угол и с этими промежуткам совсем удобно станет работать.

Munin в сообщении #589453 писал(а):

Меня такие вопросы выбивают из колеи, я судорожно пытаюсь вспомнить, а что можно использовать? Ну, глупое предложение: давайте проведём плоскость через прямую и центр сферы.

М-м-м.. а что нам это даст? Любая плоскость пересекает сферу по окружности (если не касательная и если вообще пересекает). Раз эта плоскость проходит через центр, то касательной она уже быть не может. Прямая лежит в этой плоскости.. Как-то не соображу

Munin в сообщении #589453 писал(а):

С учётом ваших объяснений, задача 4 решена, я просто решения не понял. Извиняюсь сильно.

Да ладно) Я в собою понаписанном сам регулярно разобраться не могу. А Вам я очень благодарен за помощь!

[Joker_vD]

Asker Tasker в сообщении #589465 писал(а):

Любая плоскость пересекает сферу по окружности (если не касательная и если вообще пересекает). Раз эта плоскость проходит через центр, то касательной она уже быть не может. Прямая лежит в этой плоскости

Ну а прямая пересекает окружность максимум в двух точках. Теорема Безу, что поделать.

[Munin]

Asker Tasker в сообщении #589465 писал(а):

У меня была мысль так сделать, но потом как-то отпала. Если, вводя систему координат, ось Ох ввести проходящей через точку М, то этой точке будет соответствовать нулевой угол и с этими промежуткам совсем удобно станет работать.

Ну а зачем вы свою последовательность $a_n$ вводили? Вот её и используйте.

[Asker Tasker]

Joker_vD в сообщении #589473 писал(а):

Ну а прямая пересекает окружность максимум в двух точках. Теорема Безу, что поделать

До сегодняшнего дня я слышал только об одной теореме Безу - для многочленов. Оказывается, есть ещё одна!

Munin в сообщении #589493 писал(а):

Ну а зачем вы свою последовательность $a_n$ вводили? Вот её и используйте.

Ну, так теперь уже исправил :)

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Она, в принципе, тоже о многочленах. Прямая — неприводимая кривая первой степени, окружность — неприводимая кривая второй степени, поэтому пересекаться они могут не более чем в $1\cdot2=2$ точках. А элементарное доказательство я не помню, увы. Вроде бы там через расстояния от центра окружности до прямой решалось...

[Asker Tasker]

(Оффтоп)

А что такое "неприводимая кривая n-ой степени"