В основании пирамиды - правильная фигура

[Keter]

Боковые грани пирамиды образованы равнобедренными треугольниками с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Найти объём пирамиды.

В задаче ничего не сказано про основание. Из условия ясно только, что это правильная фигура. Заранее, ответ должен получиться такой: $\dfrac{a^2 \sqrt{\cos \alpha}}{12 \sin \dfrac{\alpha}{2}}$

Ну площадь основания можно взять такую: $S_{\text{осн}} = \dfrac{n}{2}ra$. $n$ должно сократиться?

Апофему можно найти: $h=\dfrac{a}{2} \ctg \dfrac{\alpha}{2}$

Но когда я нахожу высоту пирамиды $H$ или $r$ у меня $n$ остаётся под тригонометрической функцией и нигде не сокращается, в этом и проблема.

Может здесь другая формула объёма есть?

[ewert]

Keter в сообщении #588664 писал(а):

Боковые грани пирамиды образованы равнобедренными треугольниками с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине.

Это -- жульническая формулировка. Интуитивно понятно, что основанием будет правильный многоугольник, иначе пирамида просто не сложится. Однако это надо формально доказывать. Только кому это надо -- возиться с этими формальностями?!...

[Keter]

ewert, что значит формально доказать, это же и так ясно. Или Вы намекаете на то, что в основании при таком условии может быть только определенная фигура?

[Shtorm]

А если исходить из известного ответа - то какая фигура лежит в основании?

[Keter]

Shtorm, квадрат вроде, только у них в ответе $a^2$, а надо $a^3$.

-- 24.06.2012, 22:56 --

Не могу понять, от чего вообще зависит количество сторон основания? От $\alpha$ - нет, тогда от чего?

-- 24.06.2012, 23:00 --

Вдруг у нас $\alpha, a$ очень маленькие, тогда можно очень много сторон сделать у многоугольника.

[Shtorm]

Keter в сообщении #588682 писал(а):

Вдруг у нас $\alpha, a$ очень маленькие, тогда можно очень много сторон сделать у многоугольника.

Тогда так: - $a$ -очень маленькое, а $\alpha$ стремится к 90 градусам.

[Keter]

Shtorm, но это же абсурд, при маленьком $a$ маленький угол!

[Shtorm]

Keter в сообщении #588704 писал(а):

Shtorm, но это же абсурд, при маленьком $a$ маленький угол!

А, прошу прощения, я не правильно прочитал условие задачи, я почему-то прочитал, что $\alpha$ угол при основании, а он был при вершине.

[Keter]

Shtorm, ничего)) Но все равно, разве угол при вершине определяет какая правильная фигура в основании может быть? Нет же... Хотя судя по ответу в основании квадрат!

[Keter]

ewert, о каком формальном докозательстве Вы говорили? Я вот подумал, по определению данная пирамида правильная, а значит в основании правильная фигура. Еще прочитал в книге по геометрии, что в основании равнобедренной пирамиды может быть правильная фигура с количеством сторон меньше шести. И возник вопрос: а что такое равнобедренная пирамида?

[Keter]

Keter в сообщении #588952 писал(а):

равнобедренной пирамиды

прошу прощения, не равнобедренная, а равнорёберная пирамида!

[venco]

Keter в сообщении #588664 писал(а):

Но когда я нахожу высоту пирамиды $H$ или $r$ у меня $n$ остаётся под тригонометрической функцией и нигде не сокращается, в этом и проблема.

И у меня не сокращается.

[Keter]

venco, ну вот, а задача то странная все-таки. Ведь если основание - квадрат, то ответ совпадает и как это объяснить

[INGELRII]

Аберрацией ума составителя задачи. Совершенно очевидно, что ответ будет зависеть от числа сторон основания, тут даже считать ничего не надо. Возьмем угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Тогда, если в основании шестиугольник, то объем такой пирамиды будет равен нулю. А если не шестиугольник, а, например, треугольник - то объем будет равен не нулю, а чему-то ненулевому. Вот и видим, что от количества сторон объем таки зависит.

[Keter]

INGELRII в сообщении #589230 писал(а):

Аберрацией ума составителя задачи.

Вполне возможно, задачник у друга брал, книга относительно новая, авторов раньше не встречал, похоже что-то вроде задачника, выпускаемого при институте. Выписал несколько интересных задач, собственно, вот одна из них.

На всякий случай приведу оригинальный текст задачи

задача писал(а):

Гранями пирамиды являются равнобедренные треугольники с основанием $a$ и углом, равным $\alpha$, при вершине. Найти объем пирамиды.

-- 26.06.2012, 14:27 --

Похоже автор действительно в вычислениях ошибся(да и ответ к задаче не правильный). Ведь задача из уровня $C$, и дописав в условие, что основание - квадрат, задача автоматически перемещается в уровень $A-B$. Вообщем тема закрыта, однозначно ошибочное условие.

Можно посмотреть еще на две очень интересные задачи из этого же сборника, решается без проблем, но ответ не совпадает))) Позже ссылку напишу.