2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение24.06.2012, 22:07 
Боковые грани пирамиды образованы равнобедренными треугольниками с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Найти объём пирамиды.

В задаче ничего не сказано про основание. Из условия ясно только, что это правильная фигура. Заранее, ответ должен получиться такой: $\dfrac{a^2 \sqrt{\cos \alpha}}{12 \sin \dfrac{\alpha}{2}}$

Ну площадь основания можно взять такую: $S_{\text{осн}} = \dfrac{n}{2}ra$. $n$ должно сократиться?

Апофему можно найти: $h=\dfrac{a}{2} \ctg \dfrac{\alpha}{2}$

Но когда я нахожу высоту пирамиды $H$ или $r$ у меня $n$ остаётся под тригонометрической функцией и нигде не сокращается, в этом и проблема.

Может здесь другая формула объёма есть?

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение24.06.2012, 22:18 
Keter в сообщении #588664 писал(а):
Боковые грани пирамиды образованы равнобедренными треугольниками с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине.

Это -- жульническая формулировка. Интуитивно понятно, что основанием будет правильный многоугольник, иначе пирамида просто не сложится. Однако это надо формально доказывать. Только кому это надо -- возиться с этими формальностями?!...

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение24.06.2012, 22:36 
ewert, что значит формально доказать, это же и так ясно. Или Вы намекаете на то, что в основании при таком условии может быть только определенная фигура?

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение24.06.2012, 22:39 
Аватара пользователя
А если исходить из известного ответа - то какая фигура лежит в основании?

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение24.06.2012, 22:43 
Shtorm, квадрат вроде, только у них в ответе $a^2$, а надо $a^3$.

-- 24.06.2012, 22:56 --

Не могу понять, от чего вообще зависит количество сторон основания? От $\alpha$ - нет, тогда от чего?

-- 24.06.2012, 23:00 --

Вдруг у нас $\alpha, a$ очень маленькие, тогда можно очень много сторон сделать у многоугольника.

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение24.06.2012, 23:19 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #588682 писал(а):
Вдруг у нас $\alpha, a$ очень маленькие, тогда можно очень много сторон сделать у многоугольника.


Тогда так: - $a$ -очень маленькое, а $\alpha$ стремится к 90 градусам.

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение24.06.2012, 23:54 
Shtorm, но это же абсурд, при маленьком $a$ маленький угол!

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение25.06.2012, 00:00 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #588704 писал(а):
Shtorm, но это же абсурд, при маленьком $a$ маленький угол!


А, прошу прощения, я не правильно прочитал условие задачи, я почему-то прочитал, что $\alpha$ угол при основании, а он был при вершине.

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение25.06.2012, 00:33 
Shtorm, ничего)) Но все равно, разве угол при вершине определяет какая правильная фигура в основании может быть? Нет же... Хотя судя по ответу в основании квадрат!

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение25.06.2012, 18:25 
ewert, о каком формальном докозательстве Вы говорили? Я вот подумал, по определению данная пирамида правильная, а значит в основании правильная фигура. Еще прочитал в книге по геометрии, что в основании равнобедренной пирамиды может быть правильная фигура с количеством сторон меньше шести. И возник вопрос: а что такое равнобедренная пирамида?

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение25.06.2012, 23:43 
Keter в сообщении #588952 писал(а):
равнобедренной пирамиды

прошу прощения, не равнобедренная, а равнорёберная пирамида!

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение26.06.2012, 00:27 
Keter в сообщении #588664 писал(а):
Но когда я нахожу высоту пирамиды $H$ или $r$ у меня $n$ остаётся под тригонометрической функцией и нигде не сокращается, в этом и проблема.
И у меня не сокращается.

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение26.06.2012, 00:29 
venco, ну вот, а задача то странная все-таки. Ведь если основание - квадрат, то ответ совпадает :evil: и как это объяснить

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение26.06.2012, 12:29 
Аватара пользователя
Аберрацией ума составителя задачи. Совершенно очевидно, что ответ будет зависеть от числа сторон основания, тут даже считать ничего не надо. Возьмем угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Тогда, если в основании шестиугольник, то объем такой пирамиды будет равен нулю. А если не шестиугольник, а, например, треугольник - то объем будет равен не нулю, а чему-то ненулевому. Вот и видим, что от количества сторон объем таки зависит.

 
 
 
 Re: В основании пирамиды - правильная фигура
Сообщение26.06.2012, 13:55 
INGELRII в сообщении #589230 писал(а):
Аберрацией ума составителя задачи.

Вполне возможно, задачник у друга брал, книга относительно новая, авторов раньше не встречал, похоже что-то вроде задачника, выпускаемого при институте. Выписал несколько интересных задач, собственно, вот одна из них.

На всякий случай приведу оригинальный текст задачи
задача писал(а):
Гранями пирамиды являются равнобедренные треугольники с основанием $a$ и углом, равным $\alpha$, при вершине. Найти объем пирамиды.


-- 26.06.2012, 14:27 --

Похоже автор действительно в вычислениях ошибся(да и ответ к задаче не правильный). Ведь задача из уровня $C$, и дописав в условие, что основание - квадрат, задача автоматически перемещается в уровень $A-B$. Вообщем тема закрыта, однозначно ошибочное условие.

Можно посмотреть еще на две очень интересные задачи из этого же сборника, решается без проблем, но ответ не совпадает))) Позже ссылку напишу.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group