Плотность вероятности от 3-х случайных величин

[arseniiv]

(Оффтоп)

svv в сообщении #578750 писал(а):

чуть поднимем уровень абстракции

Хорошо подняли. Вроде понятно, а потом раз — и непонятно.

[alexey007]

Спасибо, большое, буду разбираться, сам бы не смог вывести. Для выполнения работы нужно сильно подтягивать теорию вероятности мат. статистику. Спасибо!

[svv]

Как работает формула для (гипер)объема $V(s)=\sum\limits_K \sigma_K \pi_K(s)\tau_K(s)$.
Каждой вершине $A_K$ сопоставляется $n$-мерный тетраэдр (как – описано ниже).
1) Объём (гипер)куба, отсеченный (гипер)плоскостью, получается суммированием по вершинам объёмов "ихних" тетраэдров $\tau_K$,
2) причем не по всем вершинам, а только тем, для которых $\pi_K=1$,
3) причём в сумме объёмы тетраэдров берутся со знаком $+$ или $-$ в зависимости от $\sigma_K$.

Начнём с $\pi_K$. Его можно назвать "индекс пройденности вершины". На рисунке a) отсекающая плоскость изображена зелёным цветом. Мы видим плоскость "с ребра". Можно представить, что плоскость движется с сохранением наклона в сторону увеличения $s$. Те вершины, которые при данном $s$ плоскость уже прошла, имеют индекс пройденности $1$ и участвуют в суммировании. Те вершины, которые ещё не пройдены (на рисунке покрыты туманом), имеют индекс пройденности $0$ и в суммировании не участвуют. Формально суммирование производится по всем вершинам (см.формулу), а "выключение" ненужных вершин достигается автоматически тем, что объёмы их тетраэдров умножаются на индекс пройденности $\pi_K=0$, и реально они в суммировании не участвуют.

Далее, знаковый коэффициент $\sigma_K$, приписанный каждой вершине. Если он равен $+1$, объем тетраэдра данной вершины берется с плюсом, а если $-1$, то с минусом.
Вершина, совпадающая с началом координат, имеет $\sigma_K=+1$, а остальные в шахматном порядке. На рисунке b) вершины с $\sigma_K=+1$ показаны красным цветом (плюс -- горячо), а с $\sigma_K=-1$ синим цветом (минус -- холодно).

На рисунке c) показано совместное действие коэффициентов $\pi_K$ и $\sigma_K$. Некоторые вершины пройдены и участвуют в суммировании, другие не пройдены и не участвуют (покрыты туманом). Из пройденных некоторые с плюсом, некоторые с минусом (в данном примере -- одна и три соответственно).

На рисунке d) показано, как по данной вершине $A_K$ и отсекающей плоскости строится тетраэдр.
Как известно, $n$-мерный тетраэдр имеет $n+1$ вершин. Одна вершина тетраэдра совпадает с данной вершиной куба $A_K$ (показана шариком). Из неё вдоль всех $n$ координатных линий проводятся (в положительном направлении) отрезки до пересечения с плоскостью. В точках пересечения и находятся остальные вершины тетраэдра.

На последующих рисунках изображены различные конфигурации для двумерного случая. Куб здесь становится квадратом, отсекающая плоскость -- прямой (показана зеленым цветом), тетраэдры становятся треугольниками (желтые). Ну, и объёмы становятся площадями.

На рисунке e) пройдена только одна вершина. Поэтому площадь, отсечённая от квадрата зеленой прямой, равна площади одного треугольника, соответствующего левой нижней вершине.
На рисунке f) пройдены две вершины. Левая нижняя красная, площадь её треугольника входит с плюсом. Левая верхняя синяя, площадь её маленького треугольничка с минусом. Эта разность и даёт площадь нужной фигуры -- прямоугольной трапеции.

На рисунке g) пройдены все четыре вершины, и формула должна выдать площадь квадрата, то есть $1$. Получается эта площадь суммированием/вычитанием площадей четырех треугольников -- по всем четырем вершинам. В результате -- то, что требуется. Формула хитрым образом суммирует и вычитает площади так, чтобы все нужные участки суммировались, причём ровно по одному разу (а ненужные -- не суммировались вообще либо взаимоуничтожались).

[Whitaker]

svv
Великолепно!

[arseniiv]

Присоединюсь.

[alexey007]

ewert в сообщении #577123 писал(а):

Да, это стандартная задача. Ответом будет некоторый достаточно явно выписываемый сплайн. Который в пределе больших $N$ переходит, естественно, в нормальное распределение;

Не могу понять, почему в пределе будет нормальное распределение(((
Если рассмотреть $y=\sum_{i=1}^{N}x_i$, где $x_i\in(-a,a)$ независимые случайные величины, имеющие равномерный закон распределения. Мат. ожидание $M(x_i)=0$, дисперсия $D(x_i)=\frac{a^2}{3}$. Тогда случайная величина $y=\sum_{i=1}^{N}x_i$, $y\in(-aN,aN)$ будет иметь мат. ожидание$M(y)=0$ и в пределе $N\to\infty$ очень большую дисперсию $D(y)=N\frac{a^2}{3}$

[ewert]

alexey007 в сообщении #588602 писал(а):

и в пределе $N\to\infty$ очень большую дисперсию $D(y)=N\frac{a^2}{3}$

Естественно, ту сумму надо отнормировать. Т.е. вычесть из неё сумму матожиданий и потом разделить примерно на корень из того, что Вы указали. Так, собственно, ЦПТ и принято формулировать.

[alexey007]

ewert в сообщении #588617 писал(а):

alexey007 в сообщении #588602 писал(а):

и в пределе $N\to\infty$ очень большую дисперсию $D(y)=N\frac{a^2}{3}$

Естественно, ту сумму надо отнормировать. Т.е. вычесть из неё сумму матожиданий и потом разделить примерно на корень из того, что Вы указали. Так, собственно, ЦПТ и принято формулировать.

Матожидания отнимать не нужно, т.к. дисперсия для равномерного распределения случайной величины $x \in(a,b)$ имеет вид $D(x)=\frac{(b-a)^2}{12}$, поэтому в моем случае для равномерной случайной величины $x \in(-a,a)$ дисперсия получилось $D(x)=\frac{a^2}{3}$. И используя свойство, что дисперсия случайной величины $z=\sum_{i=1}^Nx_i$ равна сумме дисперсий случайных величин $x_i$, т.е. $D(z)=ND(x_ш)=N\frac{a^2}{3}$.
А вот в центральной предельной теореме рассматривается не просто сумма случайных величин, а их средние арифметическое, поэтому нужно делить еще на $N$.

[--mS--]

alexey007 в сообщении #589124 писал(а):

И используя свойство, что дисперсия случайной величины $z=\sum_{i=1}^Nx_i$ равна сумме дисперсий случайных величин $x_i$, т.е. $D(z)=ND(x_i)=N\frac{a^2}{3}$.
А вот в центральной предельной теореме рассматривается не просто сумма случайных величин, а их средние арифметическое, поэтому нужно делить еще на $N$.

Кого и зачем нужно делить на $N$? См. сообщение ewert'а выше. Сумма н.о.р. случайных величин, центрированная суммой их матожиданий (и абсолютно безразлично, нулевые они или нет, поскольку $a-b=a-0$ при $b=0$) и нормированная корнем из суммы их дисперсий, сходится по распределению к стандартному нормальному закону. Это называется центральной предельной теоремой.