Уравнение колебаний

[phys]

$\ddot{q} + 2n\dot{q} + k^2 q = H\sin{(pt + \delta)}$

Почему частное решение ищем в виде $A\sin{(pt + \delta - \varepsilon)}$, откуда получается сдвиг фазы $\varepsilon$?

[EvilPhysicist]

phys в сообщении #588267 писал(а):

Почему частное решение ищем в виде $A\sin{(pt + \delta - \varepsilon)}$, откуда получается сдвиг фазы $\varepsilon$?

Чтобы не терять общности.
Если она не нужна, то из уравнений либо будет следовать, что она равна 0, либо никаких ограничений.

[Munin]

Если бы правая часть была произвольной периодической функцией, то частное решение надо было бы искать в виде фурье-ряда $\sum\limits_n (A_n\sin npt+B_n\cos npt).$ За счёт правой части специального вида (все высшие гармоники нулевые), оказывается, что в этом ряду все члены, кроме первых, нулевые. Получается $A_1\sin pt+B_1\cos pt=A\sin(pt+\delta\varphi)$ по формуле синуса суммы.

[phys]

Munin в сообщении #588296 писал(а):

Если бы правая часть была произвольной периодической функцией, то частное решение надо было бы искать в виде фурье-ряда $\sum\limits_n (A_n\sin npt+B_n\cos npt).$ За счёт правой части специального вида (все высшие гармоники нулевые), оказывается, что в этом ряду все члены, кроме первых, нулевые. Получается $A_1\sin pt+B_1\cos pt=A\sin(pt+\delta\varphi)$ по формуле синуса суммы.

Это математически, а какую нибудь физическую интерпретацию, "на пальцах" можно дать?

[espe]

phys в сообщении #588321 писал(а):

Это математически, а какую нибудь физическую интерпретацию, "на пальцах" можно дать?

Физическая интерпретация: Вынужденные колебания (в установившемся режиме) совершаются с частотой вынуждающей силы. Фаза (сдвиг фаз) и амплитуда находятся из диф. уравнения.

[phys]

Это понятно, мне не понятно само явление возникновения сдвига фазы $\varepsilon$.

[Munin]

phys в сообщении #588321 писал(а):

Это математически, а какую нибудь физическую интерпретацию, "на пальцах" можно дать?

Мы стукаем качели внешним воздействием с каким-то периодом. В нашем воздействии могут быть высшие гармоники - тогда качели откликаются на них, и качаются с соответствующими высшими гармониками. А могут не быть - то есть, мы прикладываем чистую синусоиду. Тогда в отклике качелей им тоже неоткуда взяться (пока и поскольку качели линейные, а то бывают на свете нелинейные - но это другой сказ).

Дальше, по отношению к нашему воздействию качели качаются не точно в такт, а с запаздыванием. Пока мы действуем силой, они разгоняются, потом мы начинаем действовать в обратную сторону, они тормозят, и потом обратно разгоняются. Чем быстрее совершаются колебания, тем больше происходит запаздывание по отношению к максимуму колебаний. При низкой частоте качели качаются практически в фазе с вынуждающей силой, при высокой - практически в противофазе.