Независимость градиента

[Dosaev]

Здравсвуйте.
Пропустил лекцию (матан), где разбирался вопрос о независимости градиента дифференцируемой функции от выбора прямоугольной системы координат.
Где можно найти материал по соответствующей теме (чтобы разбиралось доказательство)? а то везде где смотрел пишут просто этот факт без доказательства.

[gris]

В принципе это очевидно из геометрического смысла градиента, более подробно из независимости производной по направлению от выбора системы координат (декартовой). У Кудрявцева не расписано? Наверняка у Никольского.

[Dosaev]

Спасибо, но все равно как-то кратко.
В Кудрявцеве, например, написано, что градиент в каждой точке однозначно определяется самой функцией, а не зависит от выбора системы координат, как это могло бы сначала показаться из формулы
$\grad f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j + \frac{\partial f}{\partial z} \vec k$
Как не зависит, если координаты точки зависят от выбора системы?

[Oleg Zubelevich]

читайте Зорича Мат. Анализ

[ewert]

Dosaev в сообщении #588297 писал(а):

Как не зависит, если координаты точки зависят от выбора системы?

Градиент как вектор не зависит от выбора ортогональной системы координат. Т.е. при повороте координатных осей координаты градиента, естественно, меняются, но меняются ровно так, как и должны меняться координаты обычного вектора.

Причина в том, что градиент допускает чисто геометрическое описание: градиент (интерпретируемый как вектор) направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, и его длина равна скорости этого возрастания (т.е. производной по соответствующему направлению). А в таком описании конкретные системы координат никак не участвуют.