Тайское неравенство

[Ktina]

Решить неравенство

$$\tau(p^2+2543)<16$$

* $\tau$ - это число делителей, $p$ - простое число.
(предлагалась на математической олимпиаде Таиланда)

[hippie]

Ответ: $p=2.$

$\tau(3^2+2543)=16;$ при $p>3\quad (p^2+2543)$ кратно 24.

[Ktina]

hippie в сообщении #587892 писал(а):

Ответ: $p=2.$

$\tau(3^2+2543)=16;$ при $p>3\quad (p^2+2543)$ кратно 24.

"Кратно 24" - этого ещё не достаточно. Если число кратно 24, то имеет как минимум 8 делителей.

$p^2+2543$ при $p\ge 5$ имеет вид $2^{3+n}\cdot 3^{1+m}\cdot q_1^{k_1}\cdot q_2^{k_2}\dots$, где $n, m, k_i$ - целые неотрицательные числа, а $q_i$ - простые.
Если есть хоть одно $q$ - это уже как минимум 16 делителей.
Если $n>3$ или $m>1$ - тоже.
Так что наше число не может превышать $24\cdot 24$, но оно превышает $24\cdot 100$.

Таким образом, решением неравенства является пара $(6, 2)$.

[Tanechka]

Ktina, что значит "пара"? Там одна переменная...

[Ktina]

Tanechka в сообщении #587902 писал(а):

Ktina, что значит "пара"? Там одна переменная...

А как же $\tau$?

Это была шутка.
Имелось в виду, что $\tau=6$, а $p=2$