Решить краевую задачу

[victory2790]

Доброго времени суток!

Помогите пожалуйста решить краевую задачу с таким условием:
$x^2[*]y''-2[*]y=0$ , $y(1)=1, y'(x)=o(1)$ при $x\to+\infty$

я нашла общее решение по средством замены $y=x^a$
$y(x)=C_1/x+C_2[*]x^2$
как мне найти частичное решение и что делать дальше?

[Vince Diesel]

Найти константы из заданных условий. Вторую из второго, а затем первую из первого.

[victory2790]

Да, но сначала нужно найти частное решение,но я не могу никак подобрать нужную замену,чтобы найти его...

[svv]

Никакие замены уже не нужны.
У Вас есть общее решение, а частное получится из него, когда Вы вместо произвольных констант $C_1$, $C_2$ подставите те их конкретные значения, при которых выполняются краевые условия.

Звёздочку не пишите: $C_1x^{-1}+C_2 x^2$.

[victory2790]

подставила и получилось $y(x)=2/(3x)+1/3x^2$
теперь если учесть $x\to+\infty$, выйдет что конечный ответ $y(x)=1/3x^2$ ??ведь при больших х первое слагаемое стремится к нулю.

[svv]

Нет, не так.

Посмотрите, как записываются дроби: $\frac{1}{3} x^2$, код \frac{1}{3} x^2.

Вы получили общее решение $y(x)=C_1 x^{-1}+C_2 x^2$, оно правильное.
Теперь учтем, что $y(1)=1$. Для этого вместо $x$ подставим $1$ и вместо $y$ подставим $1$:
$1=C_1 1^{-1}+C_2 1^2$,
откуда $C_1+C_2=1$.
В результате учета этого условия коэффициенты ни в коем случае ещё не определились (типа $C_1=\frac 2 3, C_2=\frac 1 3$). Известно только, что $C_1+C_2=1$, и не более того.

Теперь учитываем второе условие: $y'(x)=0$ при $x\to+\infty$. Оно приводит к требованию... а дальше Вы.

victory2790 в сообщении #587558 писал(а):

теперь если учесть $x\to+\infty$, выйдет что конечный ответ $y(x)=1/3x^2$ ??ведь при больших х первое слагаемое стремится к нулю.

Но Вам-то и надо "к нулю", то есть первое слагаемое хорошее, а Вы его почему-то выбрасываете. Второе же слагаемое плохое, не удовлетворяет условию задачи, кроме случая ..., но Вы его почему-то оставляете.

[victory2790]

Но как же, из условия y'(x)=0(1), тобишь в производную подставляем 1 вместо $x$, и 0 вместо $y$.
получим $0=-C_1+2C_2$, и решив систему получим : $C_1=\frac{2}{3}$, $C_2=\frac{1}{3}$
Или я чего-то не понимаю....

[svv]

Я Ваше второе условие, продираясь через не$\TeX$овость формул, понял так: $y'(x)=o(1),\; x\to +\infty.
Или, как вариант, $y'(x)=O(1),\; x\to +\infty. Это несколько другой вариант, но в Вашей задаче результат будет тот же.
См. Википедия, статья O большое и o малое.
(Если бы имелось в виду $y'(1)=0$, то составители так бы и написали.)

Вы можете понимать это условие как $\lim\limits_{x\to+\infty}y'(x)=0$.

-- Чт июн 21, 2012 15:43:35 --

Кстати, посмотрите внимательно в методичку. Во-первых, попробуйте заметить, что там действительно буква $O$ или $o$, а не нуль (буква $O$ толще, чем цифра $0$), а во-вторых, большая там $O$ или маленькая $o$?

[victory2790]

Выходит что $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{C_2-1}{x^2}+2C_2x=0$ и как же дальше....

-- 21.06.2012, 16:52 --

Глубоко извиняюсь.....там маленькая $o$

[svv]

Ничего страшного, я так и понимал условие.

Вы уже нашли производную: $y'(x)=-C_1 x^{-2}+2C_2 x$
Теперь нам нужно обеспечить $\lim\limits_{x\to+\infty}y'(x)=0$ (ещё раз советую Вам разобраться в этих $O$ и $o$).
Предел суммы равен сумме пределов. Предел $-C_1 x^{-2}$ на плюс бесконечности будет такой, как надо, то есть нуль. Но вот второе слагаемое, $2C_2 x$, что страшно противоречит условию, вообще не имеет предела... за исключением одного-единственного случая. Догадайтесь, какого.

[victory2790]

svv в сообщении #587635 писал(а):

Но вот второе слагаемое, $2C_2 x$, что страшно противоречит условию, вообще не имеет предела... за исключением одного-единственного случая. Догадайтесь, какого.

ну если $C_2$ будет $=\frac{1}{x}$, тобишь будет обратно-пропорциональным $x$. или я ошибаюсь?

а вот на счет того что делать дальше... раз второе слагаемое не удовлетворяет условию,то его выбрасываем. и тогда в решении будет лишь первое $y(x)=\frac{C_1}{x}$
но теперь нужно найти это $C_1$, я так понимаю.использую первое уравнение $1=C_1+C_2$
и вот тут у меня возникает вопрос. $C_2=0$ ?

[svv]

victory2790 писал(а):

ну если $C_2$ будет $=\frac{1}{x}$, тобишь будет обратно-пропорциональным $x$. или я ошибаюсь?

$C_2$ не может быть равно $\frac 1 x$, потому что $C_2$ должно быть константой (исходя из решения дифуравнения), а $\frac 1 x$ не константа.

victory2790 писал(а):

и вот тут у меня возникает вопрос. $C_2=0$ ?

Да, конечно, $C_2=0$. Это единственный случай, когда $2C_2x$ имеет предел на бесконечности, и притом равный нулю.
Даже если $C_2$ будет очень, очень, очень маленьким числом (по модулю), все равно $2 C_2 x$ будет неограниченно расти (по модулю) и когда-нибудь превзойдет любое число. Это противоречит условию.
И только $C_2=0$ "вырубает" вредное слагаемое $2C_2x$ насовсем и навсегда.

Итак, $C_1+C_2=1$, и $C_2=0$. Дальше очевидно.

[victory2790]

получается,что единственное решение это $y(x)=\frac{1}{x}$ и будет ответом.

Цитата:

Но вот второе слагаемое, , что страшно противоречит условию, вообще не имеет предела... за исключением одного-единственного случая. Догадайтесь, какого.

но какой же тогда случай, если даже $C_2$ будучи пренебрежимо малым ничего не даст....

[svv]

Из-за того, что $x$ на бесконечности растет, никакое "просто малое" $C_2$ не будет пренебрежимо малым (рано или поздно "вылезет").
И только бескомпромиссное $C_2=0$ отрубает дракону голову навсегда. Из $C_2x=0x=0$ уже никогда ничего не вылезет. Это и есть тот единственный случай.

[victory2790]

тю))))
ладно, Спасибо Вам большое за помощь!!