Суперсуперсовершенное число

[Ktina]

Пусть $\sigma (n)$ - сумма всех натуральных делителей натурального числа $n$.
Натуральное число $n$ называется совершенным, если

$$\sigma (n)=2n$$

Натуральное число $n$ называется суперсовершенным, если

$$\sigma (\sigma (n))=2n$$

Например, число 4 - суперсовершенное, так как $\sigma (\sigma (4))=\sigma (7)=8=2\cdot 4$.

А существует ли суперсуперсовершенное число, то есть такое натуральное число $n$, что

$$\sigma (\sigma (\sigma (n)))=2n$$

?

[ex-math]

Не существует, если верить справочнику. И для следующих итераций тоже.
Обещают элементарное доказательство по ссылке:
G.Lord "Even perfect and superperfect numbers" Elem.Math., v.30 (1975), 87-88.

[Ktina]

ex-math в сообщении #586955 писал(а):

Не существует, если верить справочнику. И для следующих итераций тоже.
Обещают элементарное доказательство по ссылке:
G.Lord "Even perfect and superperfect numbers" Elem.Math., v.30 (1975), 87-88.

Я тоже думала, что не существует, и даже пыталась доказать.
Но...
Оказывается, вопрос остаётся открытым

[apriv]

(Оффтоп)

Кстати, удивительно, что вопрос про нечетные совершенные числа (как, видимо, и вообще все, что связано с совершенными и супер-пупер-совершенными числами) оказался совершенно бессмысленным в том плане, что не привел вообще ни к какой содержательной математике (в отличие от той же великой теоремы Ферма).

[griboedovaa]

оффтоп:я в кванте читал,что вроде бы за нахождение нового числа мерсенна дают 200 тыш долларов,так что не очень уж бесполезны совершенные числа))

[Ktina]

griboedovaa в сообщении #587016 писал(а):

оффтоп:я в кванте читал,что вроде бы за нахождение нового числа мерсенна дают 200 тыш долларов,так что не очень уж бесполезны совершенные числа))

(Как оформлять оффтоп)

Если Вы желаете поместить Ваше сообщение в оффтоп, делать нужно так, как я. Пишете "[", затем слово "off", затем "]", затем - то, что Вы хотите поместить в оффтоп, затем "[", затем "/", затем слово "off", затем "]".

[worm2]

(Самая древняя открытая проблема)

А вот интересно, какая самая древняя открытая математическая проблема?
Я пока думаю, что это задача о нечётном совершенном числе, хотя фактов у меня немного. Известно, что Фалес пифагорейцы занимались совершенными числами. Может кто ещё знает?

[Ktina]

worm2 в сообщении #587165 писал(а):

(Самая древняя открытая проблема)

А вот интересно, какая самая древняя открытая математическая проблема?
Я пока думаю, что это задача о нечётном совершенном числе, хотя фактов у меня немного. Известно, что Фалес пифагорейцы занимались совершенными числами. Может кто ещё знает?

(Оффтоп)

Самая древняя математическая проблема - сколько звёзд на небе? И ведь до сих пор не решена!

[ex-math]

Ktina
По Вашей ссылке что-то невразумительное написано: нет четных $(m,2)$-совершенных чисел. А как же 4? Имеется в виду $m\geqslant3$? В общем, доверия уже нет.

Если Вас это сильно интересует -- посмотрите мою ссылку. Доказательство должно быть простым и если там ошибка, то найти ее не составит труда.

[apriv]

ex-math в сообщении #587225 писал(а):

Ktina
По Вашей ссылке что-то невразумительное написано: нет четных $(m,2)$-совершенных чисел. А как же 4? Имеется в виду $m\geqslant3$? В общем, доверия уже нет.

Там это не «имеется в виду», а написано прямым текстом, и дана ссылка. Не вижу причин не доверять Вольфраму.

[ex-math]

Читайте внимательнее. Про не меньше трех написано в фразе про компьютерные вычисления (кстати, бессмысленные, если в 1975 году и впрямь доказали несуществование этих чисел). А в предыдущей фразе ни разу про ограничения на $m$ не сказано. Как минимум, это неряшливость, а значит, и в другом тоже может быть не совсем так, как написано.

[apriv]

Прочитал еще раз. Последний абзац, второе предложение verbatim:

Цитата:

For $m\geq 3$, there are no even $m$-superperfect numbers (Guy 1994, p. 65).

Где здесь хоть слово про компьютерные вычисления?

-- 20.06.2012, 12:33 --

По ссылке (в книге Guy) пишут:

Цитата:

More generally, Bode defines $m$-superperfect numbers as numbers $n$ for which $\sigma^m(n)=2n$, and shows that for $m\geq 3$ there are no even $m$-superperfect numbers.

И ссылка: Dieter Bode, Über eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen, Dissertation, Braunschweig, 1971.

[ex-math]

Странно, у меня в этой фразе отображается $(m,2)$ вместо $m\geqslant3$.

Ссылка на Bode тоже есть в этом справочнике, наряду с первой. Может, опечатка там, у них не указано ограничение на четность числа, и даже стоит "любое натуральное".