Три бегуна- перебор

[Keter]

svv, у меня почему-то проблему вызывает понимание того, как Вы узнаёте, что вот если $12, 12, 14$ - то он прибежит одновременно с остальными, а вот $12, 12, 13$ - уже позже ?

[svv]

Давайте начнем с варианта а) $10,10,14$ для третьего бегуна.
Сравните его с тем, как бежал первый спортсмен: $10,16,14$.
Мы видим, что третий бежал участки $AB$ и $CA$ с той же скоростью, что и первый (стало быть, затратил на них столько же времени). А участок $BC$ третий бежал медленнее, чем первый.
Значит, и к финишу он при таком раскладе придет позже, чем первый, независимо от длин участков.

Понятно ли это?

[Keter]

svv, теперь понял. Спасибо.

[svv]

Да, и хочу добавить. Когда я рассматриваю вариант $12,12,14$, то единственная гарантия того, что третий здесь прибежит одновременно с остальными -- это условие задачи (так там сказано). Но в случае, например, с вариантом $10,10,14$ -- тут и условия задачи не помогут. Можно сказать, что шесть вариантов из восьми очевидно противоречат условиям задачи (а в остальных двух можно ещё размахивать руками).

[Keter]

svv, а как Вы пришли к выражению $a^2+b^2-c^2$? Я уже исписал 4 листа системами уравнений и только сейчас дошел до того, что там минус, значит тупоугольный треугольник. Правильно?

-- 18.06.2012, 21:04 --

Только как легче то сделать?

[svv]

Вот как я делал. Рассматриваем вариант $12,12,14$. Запишем, как бежали все трое:
1) $10, 16, 14$
2) $12, 10, 16$
3) $12, 12, 14$
Первый и третий бегун бежали вместе $CA$, значит, затратили одинаковое время на $AB\cup BC$. Но на эти два первых участка
первый бегун затратил время $\frac a {10}+\frac b {16}$.
третий бегун затратил время $\frac a {12}+\frac b {12}$.
Значит, $\frac a {10}+\frac b {16}=\frac a {12}+\frac b {12}$.
Найдите отсюда отношение $a/b$ (для этого умножьте каждое слагаемое на 240).

[Keter]

svv, ну $\frac{a}{b}=\frac{5}{4}$

[svv]

Сложно это было или не очень?
А теперь аналогично найдите $c/b$ из того, что второй и третий бегун за одинаковое время пробежали $BC\cup CA$.

[Keter]

svv, вот это называется, я люблю усложнять себе жизнь

$\frac{b}{c}=\frac{15}{28}$

-- 18.06.2012, 22:36 --

Ну а дальше понятно, что выражаем стороны через $b$ и смотрим на знак выражения)

[svv]

Да, всё верно.
$a:b:c=\frac 5 4:1:\frac {28}{15}$
Можно привести всё к целым числам (домножив на $60$):
$a:b:c=75:60:112$
Остается любым из ста возможных способов понять, что это за треугольник со сторонами $75,60,112$.

А вот если то же самое проделать с вариантом $12,14,14$ (против которого явных возражений поначалу вроде бы не видно), мы получим треугольник со сторонами $75,140,448$ (с точностью до произвольного общего множителя), который не может существовать, потому что сумма первых двух сторон меньше третьей. То есть в этом варианте всё было бы хорошо, если бы не было дано, что три участка -- это стороны треугольника.