Разложить идеал

[Spandei]

Хорошо. Последний вопрос, чтобы окончательно все уяснить.
В $Z[i]$ можно построить очевидную биекцию между элементами и их идеалам, т.к. все идеалы главные.
Если обобщить случай с $i+1$ и $1-i$, то произведение элементов будет соответствовать произведению идеалов. Про сумму, правда, видимо, такого сказать нельзя, т.к. $(2)+(3) \neq (5)$
Так вот, из такой биекции, в которой выполняется гомоморфное соотношение для произведения (извините, не знаю, как это по-человечески назвать), ведь можно сделать вывод, что идеал простой тогда, и только тогда, когда прост биективно соответствующий ему элемент?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #586106 писал(а):

В $Z[i]$ можно построить очевидную биекцию между элементами и их идеалам, т.к. все идеалы главные.

Ну вообще-то не биекцию: $1+i\neq 1-i$, но $(1+i)=(1-i)$. Хотя сюръекцию. Ну можно выбрать представителя идеала.

Spandei в сообщении #586106 писал(а):

Так вот, из такой биекции, в которой выполняется гомоморфное соотношение для произведения (извините, не знаю, как это по-человечески назвать), ведь можно сделать вывод, что идеал простой тогда, и только тогда, когда прост биективно соответствующий ему элемент?

Да, только я Вам это приличным образом не докажу Но этот факт простой.

[Spandei]

Ой, да, сюръекцию. Написал, не подумав толком
Спасибо за помощь!
Кстати, если бы у нас было кольцо $Z[\sqrt2]$, да и вообще евклидово кольцо, насчет простоты идеалов и их прообразов ведь можно аналогично рассуждать?

[Joker_vD]

Вообще-то $p$ — прост $\Longleftrightarrow (p)$ — прост по самому определению простого элемента.