Разложить идеал

[Spandei]

Вчера на экзамене дали задачу:
Разложить идеал $(30)$ на простые множители в $Z[i]$.

Я правильно понимаю, что имелось в виду, что именно на множители? Я знаю только что существует примарное разложение, но там пересечение, а не умножение.
С задачей беда была, все к чему я пришел - это то, что $Z[i]$ - евклидово кольцо, и, следовательно множители будут главными идеалами.
Дали подсказку - один из множителей будет квадратом простого идеала..
Как такие задачи решать? Вчера искал в интернете, ничего похоже не нашел.

[Sonic86]

Spandei в сообщении #585893 писал(а):

Я правильно понимаю, что имелось в виду, что именно на множители? Я знаю только что существует примарное разложение, но там пересечение, а не умножение.

Похоже, что и в произведение идеалы тут раскладываются так же.

А число $30$ над $\mathbb{Z}[i]$ можете на множители разложить?

[Spandei]

Ну вроде так:
$30=2 \cdot 3 \cdot 5=(1+i) \cdot (1-i) \cdot 3 \cdot (2-i) \cdot (2+i)$

[Sonic86]

Ага, а как соотносятся идеалы $1-i$ и $1+i$?
(если не ошибаюсь, такие идеалы называются разветвленными)

[Spandei]

Так ну $i \cdot (1-i)=1+i$
Если рассмотреть идеал $(i) \cdot (1-i)$
Он образован произведениям $i \cdot t_1 \cdot (1-i) \cdot t_2$, где $t_1, t_2 \in Z[i]$.
Так как $i \cdot (1-i)=1+i$, то он совпадает с идеалом $(1+i)$
И, в общем-то, есть мнение, что $(i)=Z[i]$, единичный элемент произведения идеалов.
То есть $(1-i)=(1+i)$

[Sonic86]

Spandei в сообщении #585899 писал(а):

То есть $(1-i)=(1+i)$

Ну вот и все теперь разложение надо просто переписать в произведение идеалов

[Spandei]

А... все понятно. Нужно так же по очереди показать, что например
$(i+1)(i+1)=(2)$, т.к. первый идеал так же образован произведениями и совпадает со вторым, и тд, пока не дойдем до $(30)$.
Пока разбирались тут, возник новый вопрос. Гауссово число называется, простым, если у него нет других делителей, кроме тривиальных, т.е. $\{-1,1,i,-i\}$ и их произведений на само число
$1+i=i(1-i)$. $i$ - тривиальный делитель, и $(1-i)$ - тоже, т.к. $-i(1+i)=-i+1$. И аналогично еще 3 представления. То есть число $1-i$ - простое. Верно?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #585905 писал(а):

Гауссово число называется, простым, если у него нет других делителей, кроме тривиальных, т.е. $\{-1,1,i,-i\}$ и их произведений на само число

Числа $1;-1;i;-i$ называются единицами (обратимыми элементами) кольца (а не тривиальными делителями). Числа $\alpha, \beta$ называются ассоциированными, если существует единица $\varepsilon: \alpha=\varepsilon\beta$. Числа $1-i$ и $1+i$ ассоциированны и оба простые (так же, как $3$ и $-3$ например).
А так все верно

[nnosipov]

Spandei в сообщении #585905 писал(а):

$1+i=i(1-i)$. $i$ - тривиальный делитель, и $(1-i)$ - тоже, т.к. $-i(1+i)=-i+1$. И аналогично еще 3 представления. То есть число $1-i$ - простое. Верно?

Эти выкладки не доказывают, что число $1+i$ --- простое.

[Spandei]

Кольцо главных идеалов факториально, значит, неразложимые числа - простые.
У неразложимого числа нет других разложений, кроме тривиальных.
На примере того разложения
$1+i=i(1-i)=(1+i)i \cdot (-i)$. То есть разложение тривиально.
А как показать, что нетривиальных разложений нет?

[nnosipov]

Spandei в сообщении #586042 писал(а):

А как показать, что нетривиальных разложений нет?

Вот это правильный вопрос. Подумайте, это несложно. Можно, например, рассуждать от противного. А ещё вспомнить про (евклидову) норму в кольце $\mathbb{Z}[i]$.

[Spandei]

$g(a+bi)=a^2+b^2$
Она обладает свойством, что для любых $x$ и $y$, $x \neq 0$ можно так записать:
$x=zy+r$, где или $r=0$, или $g(r)<0$. Говоря простым языком, деление с остатком.
Очевидно, в случае $r=0$, $x$ - не простое.
Пусть есть нетривиальное разложение $1+i=xy$.
Тогда $g(1+i)=2=g(x)g(y)$.
И дальше меня терзают сомнения, можно ли на основании того, что над кольцом целых неотрицательных чисел у $2$ есть лишь тривиальные разложения, сказать, что и у $1+i$ также разложения только тривиальные?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #586091 писал(а):

И дальше меня терзают сомнения, можно ли на основании того, что над кольцом целых неотрицательных чисел у $2$ есть лишь тривиальные разложения, сказать, что и у (1+i) также разложения только тривиальные?

Рассуждайте от противного.

[Spandei]

Sonic86 в сообщении #586092 писал(а):

Spandei в сообщении #586091 писал(а):

И дальше меня терзают сомнения, можно ли на основании того, что над кольцом целых неотрицательных чисел у $2$ есть лишь тривиальные разложения, сказать, что и у (1+i) также разложения только тривиальные?

Рассуждайте от противного.

А если так?
$2$ можно разложить только так $2=2 \cdot 1$, так как кроме единицы в кольце других обратимых элементов нет. Прообразом $2$ могут быть только ассоциированные элементы с $1+i$, а прообразом единицы - только делители единицы в кольце $Z[i]$. Разумеется, на месте единицы в указанном произведении может быть произведение единиц любой длины, но произведение их прообразов также даст делитель единицы, поэтому у любого прообраза $2$ разложение также тривиальное?
P.S. каким-то не очень строгим, правда, мне мое доказательство кажется

[Sonic86]

Да вроде нормальное рассуждение.