Сходимость нестандартного несобственного интеграла

[kungen]

Я прошу прощения за кучу своих неоформленных мыслей. Уважаемые форумчане доказали, что интеграл сходится, но я все же хочу аргументированно поспорить.
Аргумент 1: график зависимости значения интеграла от его верхней границы (на картинке он - нижний)
http://i39.fastpic.ru/big/2012/0616/b6/ ... 8168b6.png
По нему видно, что интеграл расходится. График построен с помощью численного интегрирования в с++.
Аргумент 2: Максимумам графика соответствуют (2*k+1)*Pi, минимумам 2*k*Pi. Если смотреть только по максимумам, либо минимумам, то получаем сходящийся ряд. Сумма идет как 1/(x*ln(x)^2), график которой построен на этой же картинке повыше.
Аргумент 3: Получаем верхняя огибающая нашего графика (как бы затухающего синуса) на бесконечности выходит на предел, нижняя тоже. Но он у них не одинаковый по картинке получается. Значит на бесконечности интеграл является функцией синуса! Для доказательства достаточно взять модуль интеграла от Pi*k до Pi*(k+1), который по картинке стремится к конечному значению, и его нужно оценить снизу, чтобы доказать расходимость.
Как только я докажу, напишу сюда.
В Ваших рассуждениях вы оценивали маленький кусочек интеграла от границы , кратной 2Pi*K, до числа в 2Pi окрестности той границы как предельно маленький. Я же Вам скажу, что он -то и влияет на все.

[ewert]

По Вашей картинке делать выводы невозможно -- она слишком коротка. И рисовать её надо в логарифмическом масштабе по иксам, чтобы хоть что-то разглядеть.

Дело в том, что амплитуда осцилляций убывает очень медленно -- как $\dfrac1{\ln x}$, потому и кажется, что она стабилизируется: убывание амплитуды в 0.7 раз по правой половине графика кажется незаметным на фоне быстрого убывания в начале. Чисто оптическая иллюзия. А то, что нижние пики выглядят расположенными симметрично нижним, объясняется тем, что тренд стабилизируется гораздо быстрее -- со скоростью порядка $\dfrac1{\ln^2x}$.

[kungen]

Вот график в логарифмическом масштабе, я взял натуральный логарифм от x, а не десятичный, но это не принципиально. Смотреть только на спад амплитуды, а не на внутренность графика.

Да, вы правы, амплитуда уменьшается.
График идет до x=38 000 000 , где x- верхняя граница интеграла

[ex-math]

ewert в сообщении #585819 писал(а):

Имелся в виду критерий Коши сходимости интеграла.

Да, через критерий Коши будет аккуратнее.