Изоморфизм групп

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #584779 писал(а):

считаем определитель - получаем комплексное число. модуль комплексного числа это окружность, вот и получаем единичную окружность. так?

Со скидкой на неряшливость: да, так.

Naatikin в сообщении #584779 писал(а):

$R_+$ это образ гомоморфизма

Да ну? И в какое же положительное вещественное число отображается, скажем, $\left(\begin{array}{cc}i&0\\0&1\end{array}\right)\in \mathrm{GL}_2(\mathbb C)$?

[Naatikin]

я ведь беру такие матрицы, у которых определитель вещественное число, а факторгруппа $GL_n(C)/H$ из таких и состоит?

-- 14.06.2012, 11:04 --

Joker_vD в сообщении #584610 писал(а):

Ну, и когда же $aH=bH$?

когда $ab^{-1} \in H$?

[Naatikin]

и такой ещё вопрос: ведь факторгруппа сохраняет нахождение определителя матрицы в положительных рациональных числах?

[muzeum]

Naatikin в сообщении #584768 писал(а):

muzeum
по теореме о гомоморфизме групп: гомоморфный образ изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма, следует, что $GL/H $ изоморфен $R_+$, почему он будет изоморфен и факторгруппе $C/R_+$

Теоремы о гомоморфизме устанавливают еще и изоморфизм структуры подгрупп, содержащих ядро в прообразе и структуры подгрупп образа.
Профакторизовать $GL$ по $H$ - это то же самое, что в образе профакторизовать $C$ по образу $H$, т.е. по $R^+$.

[Naatikin]

muzeum в сообщении #584826 писал(а):

Naatikin в сообщении #584768 писал(а):

muzeum
по теореме о гомоморфизме групп: гомоморфный образ изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма, следует, что $GL/H $ изоморфен $R_+$, почему он будет изоморфен и факторгруппе $C/R_+$

Теоремы о гомоморфизме устанавливают еще и изоморфизм структуры подгрупп, содержащих ядро в прообразе и структуры подгрупп образа.
Профакторизовать $GL$ по $H$ - это то же самое, что в образе профакторизовать $C$ по образу $H$, т.е. по $R^+$.

хорошо $GL_2(C)/H$ изоморфно $C/R_+$. теперь, если $C/R_+$ изоморфно группе с модулем 1, то изморфны все группы.
в книге прочитал: для доказательства изоморфизма двух групп надо доказать существование такого изоморфизма или указать изоморфизм.
я пробовал указать изоморфизм(придумать такое отображение): вещественные числа по вещественным числам отобразить не получится, т.к. есть сопряженные элементы.
что ещё можно придумать?

[muzeum]

Любое ненулевое комплексное число $z$ однозначно представляется в виде произведения $z=rz_0$, где первый множитель принадлежит группе $R^+$ положительных вещественных чисел, а второй - группе чисел с единичным модулем. Легко заметить, что мультипликативная группа комплексных чисел изоморфна прямому произведению двух этих подгрупп. В любом случае, отображение $z$ в $z_0$ соответствует факторизации по $R^+$.

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #584787 писал(а):

я ведь беру такие матрицы, у которых определитель вещественное число,

Почему? У вас группа обратимых комплексных матриц. Их определители — комплексные числа.

[Naatikin]

Joker_vD в сообщении #584974 писал(а):

Naatikin в сообщении #584787 писал(а):

я ведь беру такие матрицы, у которых определитель вещественное число,

Почему? У вас группа обратимых комплексных матриц. Их определители — комплексные числа.

Я ведь строю фактор группу на основе $H$, у неё определитель вещественный и больше 0. В факторгруппе не сохраняется вещественность определителя?

[Joker_vD]

Naatikin
Скажите честно: вы ясно понимаете, что именно вы делаете, или так, приблизительно? Вы берете группу обратимых комплексных матриц $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ и режете ее на кусочки. В один кусочек попадают такие матрицы, частное которых имеет вещественный положительный определитель: $aH=bH\Longleftrightarrow ab^{-1}\in H \Longleftrightarrow \det (ab^{-1})\in\mathbb R, \det(ab^{-1})>0$.

Теперь вы строите гомоморфизм $f\colon\mathrm{GL}_n(\mathbb C)/H\to T$ по правилу $f(aH)=\dfrac{\det a}{|\det a|}$. Это корректно заданный гомоморфизм (возьмите $a'\in aH$ и проверьте, что $f(a'H)=f(aH)$), который отображает в $1$ только класс $H$ (только для матриц $x\in H$ верно $\det x = |\det x|$), причем это отображение "на" (например, если $z\in T$, то смежный класс матрицы $\left(\begin{array}{cccc}z&0&\dots&0\\0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&1\end{array}\right)$ будет отображаться в $z$), то есть изоморфизм.

Есть немного другой подход: строится гомоморфизм $g\colon \mathrm{GL}_n(\mathbb C)\to T$ по правилу $g(a)=\frac{\det a}{|\det a|}$, проверяется, что его ядро — это в точности $H$, а образ — все $T$, откуда первая теорема о гомоморфизме дает изоморфность $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)/H$ и $T$. Этот подход проще, потому что не надо думать о классах смежности, а можно просто работать с элементами группы.

[Naatikin]

Joker_vD
спасибо. видимо плохо понимаю
$T$ это комплексные числа с модулем 1?

[Joker_vD]

Naatikin в сообщении #585098 писал(а):

$T$ это комплексные числа с модулем 1?

Да. Общепринятого обозначения вроде бы нету, но у меня в конспектах используется именно $T$ (а для корней $n$-й степени из единицы, соответственно, $T_n$).

[Naatikin]

возьмем матрицу $a$ из $GL_n(C)$.
$\left( \begin{array}{cc} 1+i & 2\\  3& 3+i\\ \end{array} \right) $
$g(a)=\frac{-4+4i}{4}=-1+i$ - это комплесное число с модулем $\sqrt{2}$. Тогда он не является элементом из $T$.

[ИСН]

Это Вы что на что поделили? Определитель на что? Определитель на модуль кого?

[Naatikin]

делил на модуль определителя
да неправ в знаменателе вместо 4 должен быть $4\sqrt{2}$.

-- 14.06.2012, 22:18 --

разрешите ещё несколько вопросов про смежные классы)
почему условием $aH=bH$ является $ab^{-1} \in H$?
факторгруппа это группа образованная смежными классами по нормальной подгруппе $H$.
Т.е. необходимо каждый элемент из группы $G$ перемножить с каждым элементов из $H$?

[AV_77]

Naatikin в сообщении #585113 писал(а):

почему условием $aH=bH$ является $ab^{-1} \in H$?

Во-первых, не $$ab^{-1} \in H$, а $b^{-1} a \in H$, в таком порядке. Во-вторых, равенство $aH = bH$ означает, что совпадают множества $aH = \{ ah \ | \ h \in H \}$ и $bH = \{ bh \ | \ h \in H \}$. То есть для любого элемента $h_1 \in H$ существует такой элемент $h_2 \in H$, что $ah_1 = bh_2$. Умножая это последее равенство на $b^{-1}$ слева и $h_1^{-1}$ справа получим, что $b^{-1}a = h_2 h_1^{-1} \in H$.