(Простой) модуль

[Unconnected]

$M$ - модуль над кольцом $R, I \leqslant R$ . Пусть $M \simeq R/I $ - циклический (модуль), $I=(0:m), m \in M$, легко (?) доказать, что ($M$ - прост) $\Leftrightarrow$ ($I$ - макс.идеал).
И ниже ещё пример непонятный: $_{Z}\textrm{A}$ прост $\Leftrightarrow$ ($A$ - циклическая группа простого порядка p), как это?

Кстати, если взять циклический модуль(порожденный одним эл-м), то в нем же могут быть подмодули? Как подгруппы группы могут быть, а вот насчёт замкнутости умножения на элементы кольца не знаю..

[AV_77]

Unconnected в сообщении #584556 писал(а):

$M$ - модуль над кольцом $R, I \leqslant R$ . Пусть $M \simeq R/I $ - циклический (модуль), $I=(0:m), m \in M$, легко (?) доказать, что ($M$ - прост) $\Leftrightarrow$ ($I$ - макс.идеал).

Предположите, что модуль $M$ не простой, найдите его подмодуль и постройте идеал $J$, содержащий $I$. Вот и получится противоречие.

Unconnected в сообщении #584556 писал(а):

И ниже ещё пример непонятный: $_{Z}\textrm{A}$ прост $\Leftrightarrow$ ($A$ - циклическая группа простого порядка p), как это?

Модуль над $\mathbb{Z}$ - это, по сути, просто группа, так сказать, сама по себе. Любая абелева группа является модулем над $\mathbb{Z}$, а любая ее подгруппа, соответственно, подмодулем. Так что на индекс внимания не обращайте и покажите, что если абелева группа $A$ простая, то она циклическая простого порядка.

PS И просветите, пожалуйста, что это за обозначение: $I=(0:m), m \in M$.

[Unconnected]

$I=(0:m), m \in M$ - пересечение множеств аннуляторов всех эл-в $M$.

Цитата:

Предположите, что модуль $M$ не простой, найдите его подмодуль и постройте идеал $J$, содержащий $I$. Вот и получится противоречие.

Пусть $N$ подмодуль $M$, значит $N \simeq R/I_2$, где идеал $I_2 \subseteq I$.. но они могут быть и равны, т.к. у подмодуля может быть такое же множество аннуляторов, как и у модуля.. или нет?

Вообще, верно ли что любой модуль (не только циклический) изоморфен фактор-кольцу(над которым он модуль) по некоему идеалу?

[AV_77]

Unconnected в сообщении #584609 писал(а):

Вообще, верно ли что любой модуль (не только циклический) изоморфен фактор-кольцу по некоему идеалу?

Нет, конечно. Любая абелева группа является модулем над $\mathbb{Z}$, но не все абелевы группы циклические.

[Unconnected]

А доказал я правильно (влево)?

[Unconnected]

Ой, я там бред какой-то написал, неправильно конечно..
У циклического модуля и у его подмодуля идеалы из аннуляторов ведь совпадают!
Кстати, верно ли что любой модуль с множеством образующих$=X$ это свободный модуль $F(X)$?

[AV_77]

В одну сторону можно так доказать. Пусть идеал $I$ не максимальный, то есть существует идеал $J$ такой, что $I \subset J \subset R$. Тогда при гомоморфизме $R \to R / I$ идеал $J$ отображается в идеал $J / I$. Так как $M \simeq R / I$, то $J / I$ соответствует некоторый подмодуль $N$, то есть $M$ не может быть простым.
В обратную сторону аналогично.

[Unconnected]

Ясно, спасибо