Шестиугольник, описанный около эллипса и вписанный в эллипс

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Как Вы думаете, какие свойства может иметь шестиугольник, описанный около эллипса и вписанный в эллипс? Такой шестиугольник действительно существует. В такой конструкции: треугольник ABC, центр описанной окружности этого треугольника O, D и E- середины AB и BC соответственно. OD пересекает AC в точке F, OE- в точке G, прямые BF и BG пересекают OA и OC в точках H и I соответственно, OB пересекает AC в точке J, IJ и HJ пересекают прямые OD и OE в точках K и L соответственно. Тогда искомым шестиугольником будет JKDBLE.
Доказательство:
Лемма 1. O,H,B,I лежат на одной окружности.
Лемма 2. IJ- биссектриса угла HIB; HJ- биссектриса угла BHI.
Лемма 3. K- центр описанной окружности треугольника AJB, L- центр описанной окружности треугольника BJC.
Лемма 4. KL, DE и BO пересекаются в одной точке.=> шестиугольник JKDBLE- описанный около эллипса.
То, что он вписан в эллипс, очевидно.
Доказательство лемм: 1.$\angle JBH=\angle JAH$ по свойствам равнобедренного треугольника, аналогично $\angle IBJ =\angle ΙCJ$; ясно, что $\angle CAO=\angle ACO$ равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Обозначим угол BJH как a. Тогда $\angle HBI=2a$, $\angle HOI=180-2a$. Поэтому по теореме о вписанном угле лемма 1 верна.
2. Нетрудно доказать, что $OH=OJ=OI$. Тогда $\angle HIJ=\angle \frac{HOJ}{2}$, но $\angle HOB=\angle HIB$, поэтому лемма 2 также верна ( c HJ аналогично).
3. Нетрудно доказать, что K и L лежат на окружности, описанной около OHBI. Тогда по свойствам равнобедренного треугольника и теореме о вписанном угле $\angle KBF=\angle KJF=\angle KAF$ Тогда $KA=KB=KJ$.
4. Ясно, что KL перпендикулярен отрезку BJ и делит его пополам. Но средняя линия DE точно также делит его пополам (теорема Фалеса). Доказано.
Так какие свойства могут быть у этого шестиугольника? Комбинация свойств более общих случаев?
С уважением, Николай
ps Очень прошу также сказать, как ввести символ угла, если возможно, исправлю в более коротком виде.

[gris]

$\angle$

\angle