Почему не работает графический метод Эйлера?

[Ktina]

В книге "Краткий курс математического анализа" на стр. 566 описан графический метод Эйлера, позволяющий построить интегральную кривую диффура $y'=f(x, y)$, проходящую через начальную точку $M_0(x_0, y_0)$.
Я решила попробовать, взяла диффур $y'=2x$ с начальным условием $y|_{x=1}=1$.
Получила ломаную, проходящую через точки $(1, 1), (2, 3), (3, 7), (4, 13)$, похожую на параболу $y=x^2$ примерно настолько, насколько обезьяна похожа на человека.

Правильно ли я применила данный метод?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #584347 писал(а):

Получила ломаную, проходящую через точки $(1, 1), (2, 3), (3, 7), (4, 13)$, похожую на параболу $y=x^2$ примерно настолько, насколько обезьяна похожа на человека.

Правильно ли я применила данный метод?

Уменьшайте шаг по $x$ и наблюдайте, как обезьяна превращается в человека.

[AlexValk]

Правильно. Вы просто взяли слишком большой шаг - $\Delta x=1$, вот и получили $y_{\rm Euler}(4)=13$, что довольно далеко от точного значения $y_{\rm Exact}(4)=16$.
Для шага $\Delta x=0.1$ метод Эйлера даст $y_{\rm Euler}(4)=15.7$, а для $\Delta x=0.001$ уже $y_{\rm Euler}(4)=15,997$.
Приведенное является иллюстрацией оценки погрешности метода Эйлера $y_{\rm Euler}(x)-y_{\rm Exact}(x)\sim C(x,x_0)\Delta x $, где $C(x,x_0)=\frac12 (x-x_0) y''(\xi)$, $\xi \in [x_0;x]$. В нашем случае $y''(\xi)=2$ и $C(x,x_0)=x-x_0=3$.

[svv]

(Оффтоп)

Ktina писал(а):

"Краткий курс математического анализа" на стр. 566

[Ktina]

AlexValk в сообщении #584357 писал(а):

Правильно. Вы просто взяли слишком большой шаг - $\Delta x=1$, вот и получили $y_{\rm Euler}(4)=13$, что довольно далеко от точного значения $y_{\rm Exact}(4)=16$.
Для шага $\Delta x=0.1$ метод Эйлера даст $y_{\rm Euler}(4)=15.7$, а для $\Delta x=0.001$ уже $y_{\rm Euler}(4)=15,997$.
Приведенное является иллюстрацией оценки погрешности метода Эйлера $y_{\rm Euler}(x)-y_{\rm Exact}(x)\sim C(x,x_0)\Delta x $, где $C(x,x_0)=\frac12 (x-x_0) y''(\xi)$, $\xi \in [x_0;x]$. В нашем случае $y''(\xi)=2$ и $C(x,x_0)=x-x_0=3$.

Я так понимаю, зависимость - линейная. Для того, чтобы удвоить точность, нужно уполовинить шаг.

[AlexValk]

Ktina в сообщении #584428 писал(а):

Я так понимаю, зависимость - линейная. Для того, чтобы удвоить точность, нужно уполовинить шаг.

Да - для метода Эйлера она, в общем случае, асимптотически линейная (т.е. приближается к линейной при достаточно малых шагах). В приведенном Вами примере она оказалась точно линейной, поскольку здесь $y''= \operatorname{const}$.